Вопрос возник из этого вопроса

Как доказать, что $%\mathbb Z[i]/(7)\cong\mathbb Z_7[x]/(x^2+1)$%?

Можно построить гомоморфизм $%\mathbb Z[i]\rightarrow \mathbb{Z}_7[x]/(x^2+1),\ a+bi\mapsto a+bx +(x^2+1,7)$%, в ядре которого содержится $%(7)$%, что индуцирует гомоморфизм $%\mathbb{Z}[i]/(7)\rightarrow \mathbb{Z}_7[x]/(x^2+1)$%. Но как построить обратный или доказать биективность построенного - непонятно.

задан 3 Июл '17 19:49

Здесь можно обратный гомоморфизм не строить, заметив, что оба кольца конечны, и они имеют порядок 49. Сюръективность здесь очевидна, а тогда из-за совпадения конечных порядков получается биективность.

(3 Июл '17 20:18) falcao

А все-таки если этого не знать, то как доказать?

(В моем представлении, то что в Z[i]/(7) 49 элементов, видно из наличия этого изоморфизма и неприводимости x^2+1 в Z_7[x].)

(3 Июл '17 20:29) Slater

@Slater: то, что в Z[i]/(7) ровно 49 элементов, следует из того факта, что в каждом смежном классе есть представитель вида a+bi, где a,b -- остатки от деления на 7. Представлять себе это дело именно так и надо, потому что в абстрактном виде оно менее понятно.

В принципе, тут можно и по-другому рассуждать, рассматривая Z[x]/(x^2+1,7), а потом раскладывать гомоморфизм двумя способами, но я всегда за более "конструктивный" подход.

(3 Июл '17 20:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
3 Июл '17 19:49

показан
316 раз

обновлен
3 Июл '17 20:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru