Изоморфны ли кольца $%\mathbb Z[x]/(x^2+7)$% и $%\mathbb Z[x]/(2x^2+7)$%?

задан 4 Июл '17 1:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

Первое кольцо состоит из остатков от деления на $%x^2+7$% с естественно заданными операциями ("ключевое" равенство $%x^2=-7$%). Посмотрим, есть ли в этом кольце элемент $%y=a+bx$%, удовлетворяющий уравнению $%2y^2+7=0$%.

Имеем $%2y^2+7=2(a+bx)^2+7=2(a^2+2abx-7b^2)+7=0$%, откуда $%ab=0$%, $%2a^2-14b^2+7=0$%, где числа $%a$% и $%b$% целые. Ясно, что при при $%a=0$%, ни при $%b=0$%, последнее равенство выполняться не может.

Отсюда следует, что кольца не изоморфны: одно и то же уравнение имеет решение во втором кольце, а в первом не имеет.

ссылка

отвечен 4 Июл '17 1:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
4 Июл '17 1:21

показан
214 раз

обновлен
4 Июл '17 1:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru