На математических олимпиадах довольно часто встречаются уравнения в целых числах, значительно реже - уравнения в простых числах, а вот уравнения в простых близнецах лично мне пока не попадались.

Ну что ж, всё когда-то бывает впервые. Давайте придумаем побольше удивительных уравнений, переменными в которых служат простые числа-близнецы, и опубликуем их в данной теме.

Итак, первое в истории человечества уравнение в простых близнецах:

Решить уравнение $$p^q+pq-p-q=2q^p$$ , где $%p$% и $%q$% - простые близнецы.

задан 5 Июл '17 17:10

1

Можно сразу принять q = p+2 или наоборот

(5 Июл '17 21:31) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Найдём все решения в простых числах. При $%p=q$% получается $%2p^2-2p=2p^p$%, что невозможно, так как правая часть больше левой. Пусть $%p\ne q$%. Запишем уравнение в виде $%p(p^{q-1}+q-1)=q(2q^{p-1}+1)$%. Тогда число $%2q^{p-1}+1$% делится на $%p$%. С другой стороны, $%q^{p-1}$% сравнимо с $%1$% по модулю $%p$%. Отсюда по модулю $%p$% имеют место равенства $%0=2q^{p-1}+1=3$%, то есть $%p=3$%.

Уравнение приобретает вид $%3^q-3=2q^3-2q=2(q-1)q(q+1)$%. Ясно, что левая часть растёт быстрее, поэтому достаточно проверить несколько начальных значений $%q$%. Здесь можно абстрагироваться от того, что $%q$% простое, и рассматривать любые натуральные значения. Видно, что $%q=1$% подходит; при $%2\le q\le4$% правая часть больше; при $%q=5$% снова имеет место равенство. Далее при $%q > 5$% левая часть будет больше, так как при переходе от $%q$% к $%q+1$% происходит увеличение более чем в три раза: $%3^{q+1}-3=3(3^q-1) > 3(3^q-3)$%, а у правой части увеличение происходит в $%\frac{q+2}{q-1}=1+\frac3{q-1}$%, что меньше $%3$% при $%q\ge3$%.

Таким образом, в простых числах имеется в точности одно решение $%(p,q)=(3,5)$%, и оно является решением в простых числах-близнецах.

Есть подозрение, что даже в натуральных числах решений всего два, но я пока строго этого не проверял.

ссылка

отвечен 5 Июл '17 23:13

@falcao, большое спасибо!

(6 Июл '17 11:01) Аллочка Шакед

@falcao,

Можно и по модулю 6 решить. Левая честь даёт остаток 4, а правая даёт остаток 2. Исключение составляет лишь пара (3, 5)

(6 Июл '17 11:01) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: честно говоря, пока не очень понимаю, почему это так. Если это верно (с какими-то разумными оговорками), то достаточно рассматривать остатки от деления на 3, которые будут равны 1 и 2 соответственно. Но я не вижу, почему это будет так для правой части. Ведь q может давать остаток 2 от деления на 3.

(6 Июл '17 12:08) falcao
1

@falcao , Вы пишете, что "Ведь q может давать остаток 2 от деления на 3." Не может! У простых близнецов большее число в паре всегда даёт 1 при делении на 3 :)

(8 Июл '17 0:54) Аллочка Шакед

@Аллочка Шакед: я уже как бы "переключился" на более общую формулировку условия, поэтому не принял во внимание условие насчёт близнецов. Теперь всё стало ясно.

(8 Июл '17 1:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ещё одно уравнение в простых близнецах: $$n!+p+q=2^k$$, $%p, q$% - простые близнецы, $%n, k$% - ЦНЧ (Целые Неотрицательные Числа)

@falcao, :)

ссылка

отвечен 8 Июл '17 1:03

1

p+q делится на 4, тогда n! тоже, и n>=4. Факториал делится на 3, отсюда p+q не делится => это 3 и 5. Получается n!+8=2^k, факториал делится на 8, но не на 16. Отсюда n=4 или n=5; оба подходят при k=5 или k=7 соответственно.

(8 Июл '17 1:24) falcao

@falcao, большое спасибо!

(9 Июл '17 11:32) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,390
×1,114
×370
×211
×128

задан
5 Июл '17 17:10

показан
723 раза

обновлен
9 Июл '17 11:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru