$$ \begin{cases} x^3+x\cdot y^2-3\cdot x^2-3\cdot y^2+3\cdot x-y=0 \\ y^3+x^2\cdot y-x-3\cdot y=0 \end{cases} $$ Мне кажется скучное уравнение, но оно не получается

задан 6 Июл '17 0:08

изменен 6 Июл '17 1:44

all_exist's gravatar image


45.6k212

@all_exist, спасибо

(6 Июл '17 2:19) epimkin
2

Я пока придумал только "рутинный" способ решения. Рассматриваем многочлены от y, коэффициентами которых являются многочлены от х (или рациональные функции). Делим второй многочлен с остатком на первый. Это даёт уравнение 1-й степени. Далее квадратный трёхчлен делим на линейный. Получается уравнение от x. Оно разложимо на множители. Корни от x находятся. Их подставляем, и находим решения (0,0), (1,-1), (2,1). Но здесь, наверное, должно быть что-то и получше.

(6 Июл '17 3:01) falcao

@falcao, что-то деление не получается

(6 Июл '17 3:33) epimkin

@epimkin: а как оно может не получиться? Там разве что сложные вычисления, но суть самая обычная. Чтобы было проще делить, можно второй многочлен сначала домножить на (x-3)^2 -- квадрат коэффициента при y^2.

Я мог бы промежуточные вычисления показать, но пока есть надежда, что тут отыщется какой-то более простой способ решения.

(6 Июл '17 3:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Попробую предложить способ решения, основанный на выведении каких-то "естественных" следствий уравнений системы. Первое уравнение можно представить в виде $%(x-3)(x^2+y^2)+3x-y=0$%. Второе, соответственно, в виде $%y(x^2+y^2)-x-3y=0$%. Домножим первое уравнение на $%y$%, второе на $%x-3$%, и произведём вычитание. Получится $%y(3x-y)+(x-3)(x+3y)=0$%. После раскрытия скобок получается $%x^2-3x+6xy-y^2-9y=0$%. Теперь напрашивается домножение на $%x$%, чтобы получились слагаемые $%x^3-3x^2$% с последующим вычитанием первого уравнения, где эти слагаемые сократятся. Возникает такое следствие: $%6x^2y-2xy^2-9xy+3y^2-3x+y=0$%. Оно имеет вид $%2xy(3x-y)-3y(3x-y)-(3x-y)=0$%, то есть имеет место разложение на множители: $%(2xy-3y-1)(3x-y)=0$%.

Рассматриваем два случая. Если $%y=3x$%, то подстановка в исходные уравнения системы даёт $%x^3-3x^2=0$% и $%3x^3-x=0$%. Отсюда ясно, что $%x=0$%, $%y=0$%.

Теперь пусть $%2xy-3y-1=0$%. Тогда $%y\ne0$%, и можно выразить $%x=\frac32+\frac1{2y}$%. Следовательно, $%x^2-3=\frac1{4y^2}+\frac3{2y}-\frac34$%, и из второго уравнения исходной системы, записанного в виде $%y^3+(x^2-3)y-x=0$%, имеем $%y^3+\frac1{4y}+\frac32-\frac34y-\frac32-\frac1{2y}=0$%, то есть $%4y^4-3y^2-1=0$%.

Разложение на множители имеет вид $%(y^2-1)(4y^2+1)=0$%, то есть $%y=\pm1$%. При $%y=1$% получаем $%x=2$%; при $%y=-1$% будет $%x=1$%. Далее возможна прямая проверка. Итого получилось три решения системы в действительных числах.

ссылка

отвечен 6 Июл '17 10:24

3

@falcao: Такая система должна иметь красивое решение, если возвести оба уравнения в квадрат, сложить, а затем разложить на множители: $$(x^3+xy^2-3x^2-3y^2+3x-y)^2+(y^3+x^2y-x-3y)^2=$$ $$=(x^2+y^2)\left((x-2)^2+(y-1)^2\right)\left((x-1)^2+(y+1)^2\right)=0.$$

(6 Июл '17 11:53) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я это проделал, и там получается поистине "чудесное" равенство, то есть всё мгновенно решается. Но как можно это было заранее увидеть? Тут ведь должно быть какое-то соображение?

(6 Июл '17 12:13) falcao
2

@falcao: Я помню, что несколько систем из пары уравнений третьей степени решаются таким образом (возможно, что по сути это одна и та же система уравнений). Сейчас искать такие системы не буду - ограничен во времени.

(6 Июл '17 12:18) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: для меня это "новинка" -- раньше не попадалось таких систем. Встречались только такие случаи, где при помощи комплексных чисел решается -- типа, u=0 & v=0 превращалось в u+iv=0. Здесь какой-то такой приём всё время напрашивался, но я не проверял, что при этом будет.

(6 Июл '17 13:06) falcao

Сейчас буду возводить, если удастся( 6 членов)

(6 Июл '17 14:03) epimkin

После вынесения за скобки (x^2+y^2) осталось ((9-6*x+x^2+y^2)(x^2+y^2)-10). Как это дальше разложить? Не получается

(6 Июл '17 15:06) epimkin

@epimkin: пересчитайте -- там после деления не такое выражение получается. В частности, там +10 на конце, а не -10, но это не единственное отличие.

(6 Июл '17 19:58) falcao

@falcao , я не то, что здесь возводил в квадрат(система первоначально выглядела по-другому и там проще возводить в квадрат). Я видно только ухудшил ситуацию, приведя там все к общему знаменателю и получив то, что в вопросе. Корни вроде в том, что я привел в комментарии, выражении подходят

(6 Июл '17 20:15) epimkin

@epimkin: я не знаю, что здесь было изначально. То тождество, которое привёл @EdwardTurJ, верно.

(6 Июл '17 20:39) falcao
3

@falcao:

  1. Та же система, также от @epimkin, но решена иначе: math.hashcode.ru/questions/53329/

  2. Здесь math.hashcode.ru/questions/61988/ решение от @splen

(6 Июл '17 23:20) EdwardTurJ

Да, памяти нет( правда давно было). Спасибо брльшое

(7 Июл '17 0:40) epimkin
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
6 Июл '17 0:08

показан
287 раз

обновлен
7 Июл '17 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru