-1

Пусть $%f(x)=x^2+ax+b, g(x)=x^2+cx+d$% - неприводимые над $%\mathbb Q$% многочлены, причем $% f(\alpha)=g(\beta)=0$%. Найти необходимые и достаточные условия на коэффициенты $%(a,b,c,d)$%, при которых $%\mathbb Q(\alpha)\cong \mathbb Q(\beta)$%.

задан 6 Июл '17 19:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко видеть, что $%\mathbb Q(\alpha)=\mathbb Q(\sqrt{a^2-4b})$%, причём дискриминанты здесь не являются точными квадратами, так как многочлены неприводимы. Случай изоморфизма$%\mathbb Q(\sqrt{m})$% и $%\mathbb Q(\sqrt{n})$% при указанных условиях означает, что во втором кольце имеет решение уравнение $%X^2-m=0$%, поскольку рациональные числа при изоморфизме переходят тождественно в себя. Таким образом, $%\pm\sqrt{m}=u+v\sqrt{n}$% для некоторых рациональных $%u$%, $%v$%. После возведения в квадрат будет $%m=u^2+v^2n+2uv\sqrt{n}$%, поэтому $%u=0$% или $%v=0$%. Второй случай невозможен, а в первом случае корни из дискриминантов оказывают "подобными", то есть их частное рационально.

Для примера: у уравнений $%x^2+4x+2=0$% и $%x^2+6x+1=0$% корни из дискриминантов равны $%2\sqrt2$% и $%4\sqrt2$% соответственно. Расширения полей в этом случае совпадают.

ссылка

отвечен 6 Июл '17 20:37

А отсюда разве не следует, что многочлены должны быть равны? https://c.radikal.ru/c29/1804/fb/cbe13a1a56a6.png

(12 Апр 2:40) Slater

@Slater: многочлены не должны быть равны. Простейший пример: x^2-2 и x^2-8. По ссылке дано совсем другое утверждение: там a переходит в b при изоморфизме, а здесь просто существует какой-то изоморфизм полей. Ясно, что поля Q(sqrt(2)) и Q(2sqrt(2)) равны, но a=sqrt(2) не переходит при изоморфизме в b=2sqrt(2).

(12 Апр 3:05) falcao

Так а какие условия на a,b,c,d-то? Что частное $%(\sqrt{a^2-4b}/\sqrt{c^2-4d})$% рационально? Как это аккуратно в обратную сторону доказать?

(7 Авг 7:17) Slater

@Slater: здесь всё доказано в обе стороны. Частное корней из дискриминантов должно быть рациональным. Понятно, что если корни отличаются на рациональный ненулевой множитель, то поля совпадают, так как корни рационально выражаются друг через друга напрямую.

(7 Авг 9:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,769

задан
6 Июл '17 19:42

показан
218 раз

обновлен
7 Авг 9:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru