Пусть $%F=\mathbb F_2$% и $%E$% - расширение $%F$%

1) Показать, что если $%\alpha\in E$% удовлетворяет $%f(\alpha)=0$%, то также выполнено $%f(\alpha^2)=0$%

2) Пусть $%\alpha\in E$% - корень $%f(x)=x^5+x^2+1\in F[x]$%. Выразить все корни $%f$% в виде $%a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3+a_4\alpha^4$%, где $%a_i=0,1$%

задан 6 Июл '17 23:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Отображение $%x\to x^2$% (из $%E$% в $%E$%) является гомоморфизмом колец, так как $%(x+y)^2=x^2+y^2$% в поле характеристики 2. Тождество $%(xy)^2=x^2y^2$% имеет место всегда. Элементы поля $%F$% при этом неподвижны. Отсюда $%f(x)$% переходит в $%f(x^2)$% для любого многочлена над $%F$%, поэтому $%f(\alpha)=0$% влечёт $%f(\alpha^2)=0$%.

2) Неприводимость многочлена над полем из двух элементов следует из того, что у него нет корней в основном поле, а также из того, что $%f(x)$% не делится на единственный неприводимый над основным полем многочлен $%x^2+x+1$% степени 2. Действительно, $%x^3=1$% по модулю многочлена второй степени, и тогда $%x^5=x^2$%, то есть $%f(x)$% сравнимо с 1.

Таким образом, поле разложения $%f(x)$% имеет порядок $%2^5=32$%. При автоморфизме корни переходят в корни, поэтому помимо $%\alpha$%, корнями будут ещё $%\alpha^2$%, $%\alpha^4$%, $%\alpha^8=\alpha^3\alpha^5=\alpha^3(\alpha^2+1)=\alpha^5+\alpha^3=\alpha^3+\alpha^2+1$%, и далее $%\alpha^{16}=(\alpha^3+\alpha^2+1)^2=\alpha^6+\alpha^4+1=\alpha^4+\alpha^3+\alpha+1$%. Итого 5 корней; все они попарно различны. Можно проверить, что $%\alpha^{32}=\alpha$%.

ссылка

отвечен 7 Июл '17 0:53

1) Почему элементы F неподвижны при таком отображении?

2) Последний абзац: зачем надо искать порядок поля разложения? О каком автоморфизме идет речь (непонятно, почему корнями будут еще a^2, a^4)?

(7 Июл '17 1:30) Slater

@Slater: 1) по той очевидной причине, что 0^2=0 и 1^2=1 :) 2) порядок поля разложения искать, вообще говоря, не обязательно. Автоморфизм всё тот же самый, который был в пункте 1), который переводит каждый элемент в его квадрат. Здесь рассматриваются его итерации, и оказывается, что они дают 5 разных корней. Логика тут понятная: если alpha -- корень, то его квадрат -- корень. Тогда и квадрат квадрата -- тоже корень, по общему принципу, и так далее.

(7 Июл '17 2:00) falcao

Почему порядок поля разложения такой? Почему максимум 5 корней? (Мы видели, что над конечным кольцом может быть больше корней, чем степень многочлена)

(7 Авг 7:12) Slater

@Slater: здесь все многочлены над полями. В этом случае число корней не больше степени.

(7 Авг 9:03) falcao

А почему порядок поля разложения такой?

(7 Авг 9:21) Slater

@Slater: рассмотренное поле содержит все корни многочлена, и порождается ими над F2 -- по построению. Это и есть поле разложения.

(7 Авг 9:32) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,779

задан
6 Июл '17 23:27

показан
188 раз

обновлен
7 Авг 9:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru