1) Пусть $%C$% - циклическая группа, т.ч. $%Hom(C,Z_p)\cong Z_p$%. Что можно сказать о порядке $%C$%?

2) Пусть $%G$% - конечно порожденная абелева группа, т.ч. $%Hom(G,Z_p)\cong (Z_p)^n$%. Что можно сказать о $%G$%?

задан 6 Июл '17 23:50

изменен 7 Авг 6:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Хорошо известно, что гомоморфизмов из циклической группы порядка n в циклическую группу порядка n имеется в точности НОД(m,n). Значит, если C конечная циклическая, её порядок должен делиться на p, и это условие необходимое и достаточное. Если C бесконечная циклическая, то гомоморфизмов из неё в группу порядка n имеется ровно n. Этот случай здесь также подходит.

2) Разложим G в прямую сумму циклических групп -- конечных или бесконечных. Для конечных групп рассмотрим их примарное разложение. Те группы, порядок которых бесконечен или является степенью p, дадут по предыдущему пункту p гомоморфизмов. Чтобы всего их стало p^n, должно быть ровно n циклических слагаемых, которые либо бесконечны, либо их порядок есть степень p. Наличие прочих слагаемых никак не влияет.

ссылка

отвечен 7 Июл '17 1:56

Наличие прочих слагаемых не влияет потому что из них в Z_p только тривиальный гомоморфизм есть?

(7 Авг 7:36) Slater
1

@Slater: да, по этой именно причине (с учётом того, что гомоморфизмы из A+B определяются гомоморфизмами слагаемых).

(7 Авг 9:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,868

задан
6 Июл '17 23:50

показан
195 раз

обновлен
7 Авг 9:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru