Пусть $%f,g: R\rightarrow R$% - C^2 функции, $%h:R^2\rightarrow R$% - C^1 функция, $%f(0)=g(0)=0, f'(0)=g'(0)=h(0,0)=1$%. Докажите, что функция $%H: R^2\rightarrow R$% $$H(x,y)=\int_0^{f(x)}\int_0^{g(y)}h(s,t)dsdt+\frac{x^2}{2}+by^2$$ имеет локальный минимум в нуле при $%b>1/2$% и седло в нуле при $%b<1/2$%


$%H_x(x,y)=F(y,f(x))+x$%

$%H_y(x,y)=G(x,g(y))+2by$%


$%H_{xx}=F_x(y,f(x))f'(x)+F(y,f(x))f''(x)+1$%

$%H_{yy}=G_y(x,g(y))g'(y)+G(x,g(y))g''(y)+2b$%

$%H_{xy}=F_y(y,f(x))f'(x)$%

$%H_{yx}=G_x(x,g(y))g'(y)$%


$%H_{xx}(0,0)=F_x(0,0)+1$%

$%H_{yy}(0,0)=G_y(0,0)+2b$%

$%H_{xy}(0,0)=F_y(0,0)$%

$%H_{yx}(0,0)=G_x(0,0)$%


$%F_x(x,y)=F_{x_2}(y,f(x))f'(x); F_x(0,0)=F_{x_2}(0,0)$%

$%F_y(x,y)=F_{x_1}(y,f(x)); F_y(0,0)=F_{x_1}(0,0)$%

$%G_x(x,y)=G_{y_1}(x,g(y)); G_x(0,0)=G_{y_1}(0,0)$%

$%G_y(x,y)=G_{y_2}(x,g(y))g'(y); G_y(0,0)=G_{y_2}(0,0)$%


$%F_{x_1}(x_1,x_2)=h(x_2,g(x_1))g'(x_1); F_{x_1}(0,0)=1$%

$%G_{y_1}(y_1,y_2)=h(y_2,f(y_1))f'(y_1); G_{y_1}(0,0)=1$%

$%F_{x_2}(x_1,x_2)=\frac{\partial }{\partial x_2}\int_0^{g(x_1)} h(s,x_2)ds=\int_0^{g(x_1)} h_{x_2}(s,x_2)ds; F_{x_2}(0,0)=0$%

$%G_{y_2}(y_1,y_2)=\frac{\partial}{\partial y_2} \int_0^{f(y_1)} h(y_2,t)dt=\int_0^{f(y_1)} h_{y_2}(y_2,t)dt; G_{y_2}(0,0)=0$%


$%H_{xx} H_{yy}-(H_{xy})^2=2b-1$%...

задан 7 Июл '17 0:00

изменен 10 Июл '17 21:22

вычисление частных производных Вам поможет...

(7 Июл '17 15:02) all_exist

Знать бы, как такие интегральные функции дифференцировать...

(9 Июл '17 21:36) curl
1

Знать бы, как такие интегральные функции дифференцировать... - обычно на матанализе изучают формулу Лейбница ...

(9 Июл '17 21:43) all_exist

Но тут повторный интеграл...

(9 Июл '17 21:46) curl

и чему это противоречит?...

(9 Июл '17 22:03) all_exist

Ничему, но как применить формулу для этого случая, неясно. Например, в формуле функция подынтегральная содержит переменную, участвующую в верхнем пределе, а в данном случае -нет.

(9 Июл '17 23:35) curl
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$ H_1(x;y) = \int\limits_{0}^{f(x)} \int\limits_{0}^{g(y)} h(s;t)\;ds\,dt = \int\limits_{0}^{f(x)} F(y;t)\;dt =\int\limits_{0}^{g(y)} G(s;x)\;ds $$ и вперёд...

ссылка

отвечен 10 Июл '17 0:19

Получается такое [добавил в условие]. При b=0 получается бесконечно много критических точек...

Теперь 2ые частные производные искать?

И как можно упростить $%\frac{d}{dy}\int_0^{f(y)}h(s,t)dt$%?

Зачем нужно условие h(0,0)=1?

(10 Июл '17 0:56) curl

И как можно упростить - не упростить, а вычислить... всё по той же формуле Лейбница...

(10 Июл '17 1:13) all_exist

Зачем нужно условие h(0,0)=1? - чтобы вычислять значение смешанных производных в нуле...

При b=0 получается бесконечно много критических точек... - кстати, Вас это не должно интересовать... Вас интересует только значения в нуле...

(10 Июл '17 1:15) all_exist

Но там опять в подынтегральном выражении нет аргумента, участвующего в верхнем пределе, и "трюк", показанный Вами, не проходит..

(10 Июл '17 1:15) curl

Но там опять в подынтегральном выражении нет аргумента, участвующего в верхнем пределе - где там?...

(10 Июл '17 1:21) all_exist

Чтобы вычислить интеграл $%\frac{d}{dy}\int_0^{f(y)}h(s,t)dt$% по формуле Лейбница. Там - в этом интеграле.

(10 Июл '17 1:25) curl

всё там есть... вот только почему у Вас $%s$% осталась после первого дифференцирования?...

(10 Июл '17 1:36) all_exist

Во втором слагаемом (т.е. в интеграле упомянутом мной выше)? Ну так этот интеграл - это $%G_y(y,s)$% по формуле Лейбница (в Ваших обозначениях $%G_y(s;y)$%), а $%G(x,s)=\int_0^{f(x)}h(s,t)dt$%. Куда же s может подеваться?

(10 Июл '17 1:41) curl

Вы плохо ознакомились с формулой Лейбница... особенно с последними слагаемыми...

(10 Июл '17 2:03) all_exist

Рассмотрим производную по $%x$%. "Последнее слагаемое" $%\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t)dt$%. Подставляем из условия $%a(x)=0, b(x)=f(x), f(x,t)=\int_0^{g(x)}h(s,t)ds$%... У меня это и написано вроде бы

(10 Июл '17 2:13) curl

$$ \frac{d}{dx}\;\int_{0}^{f(x)} F(y;t)';dt = F(y;f(x))\cdot f'(x) $$

(10 Июл '17 2:17) all_exist

Надеюсь, теперь все верно... По крайней мере получается то что нужно.

Спасибо!

(10 Июл '17 21:23) curl
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
7 Июл '17 0:00

показан
391 раз

обновлен
10 Июл '17 21:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru