$%f: R^3\rightarrow R$% - функция класса $%C^1$%, $%f(0,0,0)=0, f_2(0,0,0)\ne 0, f_3(0,0,0)\ne 0, f_2(0,0,0)+f_3(0,0,0)\ne -1$% ($%f_k=\partial f/\partial x_k).$% Докажите, что система $$f(x_1,f(x_1,x_2,x_3),x_3)=0, f(x_1,x_2,f(x_1,x_2,x_3))=0$$ определяет $%C^1$% функции $%x_2=\phi(x_1), x_3=\psi(x_1)$% для $%x_1$% в окрестности нуля, и $$f(x_1,f(x_1,\phi(x_1),\psi(x_1)))=0, f(x_1,x_2,f(x_1,\phi(x_1),\psi(x_1)))=0$$

задан 7 Июл '17 0:09

ну, задача на теорему о неявной функции... там вроде не равенство нулю якобиана надо проверить... в чём проблема?...

(7 Июл '17 14:58) all_exist

В применении теоремы... Компоненты f не заданы - как матрицу Якоби составить? Да и в целом непонятно как ее дальше применять? В рассм. случае отображение надо отождествить с $%f: R^2\times R^1\rightarrow R^1$%. В условии теоремы дано $%f(\bar a, \bar b)=\bar c$% где $%\bar a=(a_1,a_2), \bar b=(b_1), \bar c= (c_1)$%. В нашем случае что такое $%\bar a, \bar b, \bar c$%? Это только начальные вопросы...

(9 Июл '17 21:30) curl
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим $%x=x_1$%, $%y=(y_1;y_2)=(x_2;x_3)$%... Есть вектор-функция $$ F(x;y)= \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(x;f(x;y_1;y_2);y_2) \\ f(x;y_1;f(x;y_1;y_2)) \end{pmatrix} $$ Находим частные производные $$ \frac{\partial F_1}{\partial y_1} = \frac{\partial f}{\partial x_2}(x;f(x;y_1;y_2);y_2) \cdot \frac{\partial f}{\partial y_1} (x;y_1;y_2) \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial F_1}{\partial y_1}(0;0;0)=f_2^2\neq 0 $$ Аналогично с остальными производными...

===============================================

На примере функции $%f=x \cdot y \cdot z$%... $$ F_1 = x \cdot (x \cdot y \cdot z) \cdot z = x^2 \cdot y \cdot z^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial F_1}{\partial y_2} = x^2\cdot y \cdot 2z $$ А по формулам $$ \frac{\partial F_1}{\partial y_2} = \frac{\partial f}{\partial x_2}(x;f(x;y_1;y_2);y_2) \cdot \frac{\partial f}{\partial y_2}(x;y_1;y_2) +\frac{\partial f}{\partial x_3}(x;f(x;y_1;y_2);y_2) = $$ $$ = (x \cdot z) (x \cdot y) + x (x \cdot y\cdot z) = 2\cdot x^2 \cdot y\cdot z $$

ссылка

отвечен 9 Июл '17 21:58

изменен 10 Июл '17 2:38

Мм, функция из R^{n+m} в R^m задается m компонентами. В рассм. случае m=1. Почему компоненты 2?

(9 Июл '17 23:54) curl

По-моему у Вас путаница в обозначениях...

Вы ищите вектор функцию $%(x_2;x_3)$% от одной переменной... для этого даны два уравнения... получаете якобиан размера $%2\times 2$% ...

(10 Июл '17 0:15) all_exist

До того, что ищется, я еще не дошел.. Я пытаюсь применить самое начало теоремы о неявной функции (до условий с якобианом). Например, в случае с окружностью есть отображение $%f: R^n\times R^m\rightarrow R^m$%, $%m=n=1$%, $%(x,y)\mapsto x^2+y^2-1$%, здесь 1 компонента и матрица частных производных $%[f_x(a,b) f_y(a,b)]$%. Должно выполняться $%f_y(a,b)\ne 0$%. (Это все с английской википедии). У нас отображение $%R^n\times R^m\rightarrow R^m$%, $%n=1, m=2$%. Должна получиться матрица 3 на 1, и самый правый элемент не должен быть нулевым. Тут я такого не вижу...

(10 Июл '17 0:26) curl

@curl, я с англицкой випедью не дружу... может русскую посмотрите...

Должна получиться матрица 3 на 1 - чего вдруг?... в теореме говорится про матрицу, составленную из производных от ограничений (их два) по функциональным переменным (их тоже две)... итого, матрица $%2\times 2$%...

(10 Июл '17 0:48) all_exist

Ну вот если отображение $%f=(f_1,\dots,f_m): R^n_x\times R^m_y\rightarrow R^m_y$%, где $%x=(x_1,\dots,x_n), y=(y_1,\dots,y_m)$% то матрица такая http://funkyimg.com/i/2vd55.png (где $%a=(a_1,\dots,a_n),b=(b_1,\dots,b_m)$%). У нее m строк и m+n столбцов. Подставляем m=1, n=2. Получается 1 на 3 (про 3 на 1 я ошибся)

В условии теоремы требуется чтобы матрица Y (на картинке) была невырожденной, у нас это 1 на 1 матрица...

(10 Июл '17 1:04) curl

Получается 1 на 3 (про 3 на 1 я ошибся) - если $%m=2$%, то $%2\times 3$% получается...

(10 Июл '17 1:17) all_exist

А, так тут 2 отображения, одно в R, а другое в R^2, про которое явно ничего не сказано, тогда ок

(10 Июл '17 1:18) curl

ну, типа того ...

(10 Июл '17 1:22) all_exist

Что-то образовались проблемы с вычислением производных сложной функции... Получается $%\partial_{y_2}F_2=f_{x_2}^2$% (это вроде верно). Но с этим не уверен: $%\partial_{y_2}F_1=f_{x_2}f_{x_3}+f_{x_3},\ \partial_{y_1}F_2=f_{x_2}+f_{x_3}f_{x_2}$%

(на конкретном примере f(x,y,z)=xyz последние 2 формулы не подтверждаются)

(10 Июл '17 2:01) curl

ну, я немного сократил запись пропуская аргументы... восстановите их... тогда всё сойдётся...

(10 Июл '17 2:11) all_exist

Не очень понял, при чем тут аргументы. У меня получается так: $%\partial_{y_2}F_1=\frac{\partial F_1(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dy_2}+\frac{\partial F_1(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_2}\frac{df(x_1,y_1,y_2)}{dy_2}+\frac{\partial F_1(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_3}\frac{dx_3}{dy_2}=0+f_2\times f_3+f_3\times 1$% но это видимо неверно

Как "строго" записывать аргументы - я не понимаю, кстати

(10 Июл '17 2:19) curl

попробую исправить в ответе...

(10 Июл '17 2:25) all_exist
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,617

задан
7 Июл '17 0:09

показан
346 раз

обновлен
10 Июл '17 2:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru