Мы тут одну уравняшку решаем. И оказалось, что можно записать простенькую формулу.

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=q$$

Если использовать какое то решение можно найти следующее по формуле. Проблема в том, что формула громоздкая. Но у неё точно есть общий множитель. В виде полинома по моему 4-й степени.

Вот выглядит она так в сокращённом виде.

Сделаем такую замену.

$$y=(a+b+2c)(q(a+b)-c)-(a+b)^2-(a+c)(b+c)$$

$$z=(a+2b+c)(2b-qa-(q-1)c)+(b+2a+c)(2a-qb-(q-1)c)$$

Подставляем это уже в сами решения. Знаем из предыдущее получаем следующее. Вот это и надо сократить....

$$A=((5-4q)c-(q-2)(3b+a))y^3+((5-4q)b+4(1-q)c)zy^2+(3c+(q-1)(a-b))yz^2-az^3$$

$$B=((5-4q)c-(q-2)(3a+b))y^3+((5-4q)a+4(1-q)c)zy^2+(3c+(q-1)(b-a))yz^2-bz^3$$

$$C=2(q-2)cy^3+3(2-q)(a+b)zy^2+((5-4q)(a+b)+2(1-q)c)yz^2+(2c-(q-1)(a+b))z^3$$

Интересно после сокращений какой она имеет вид!!?? Можно использовать всякие Клёны с Вольфрамом, но у меня такого софта нет. Поэтому может у кого есть? Сократите формулу в нормальный вид.

задан 9 Июл '17 17:53

изменен 11 Июл '17 11:27

Пока не очень точно понятно условие задачи. Какие числа считаются заданными, и какие нет? Верно ли, что задано рациональное q, и надо найти решение в целых a,b,c? Или что-то другое имеется в виду?

(9 Июл '17 18:13) falcao

@falcao уравнение решено. По заданным каким то решениям $%(a,b,c)$% находи следующие $%(A,B,C)$%. Проблема не в этом, а в том как решения упростить. Формула чтоб была компактной. Там всё делиться на общий полином. У меня нет Клёна, а ручкой у меня вечно ошибки возникают....

(9 Июл '17 19:10) Individ

@Individ: даже если задача решена, это не снимает вопроса о её изначальной формулировке -- включая то, от каких переменных уравнение, какие значения они могут принимать, и так далее. Понятие "следующего" решения в общем случае также не определено. В силу особенностей того или иного уравнения, может оказаться, что решения образуют однопараметрическое семейство (типа уравнения Пелля), и тогда понятие может приобрести смысл. А без уточнений какие-то проверки делать как-то не хочется, даже располагая Maple.

(9 Июл '17 19:24) falcao

Эту задачу народ пытается решить в целых числах. Лучшей идеи пока нет. Можно не философствовать, а просто загрузить в Вольфрам например и как то сократить это всё?

(9 Июл '17 20:20) Individ

@Individ: подстановка в Maple тождества не дала. Но я пока не понимаю общего замысла. Ведь числа должны быть целыми, а почему это свойство для A, B, C должно выполняться?

(9 Июл '17 21:27) falcao

@falcao я разве говорил чтоб подставлять надо? И что куда подставлял? И вообще зачем? Прежде чем подставлять надо сперва саму формулу получить? Или нет?

(9 Июл '17 21:34) Individ

@Individ: Подставляем это уже в сами решения. Это чьи слова? :)

Я рассматривал числа a,b,c, удовлетворяющие начальному уравнению. Через них выражал y,z, а потом A,B,C из формул подставлял в уравнение вместо a,b,c. В итоге q не получилось. Я понял текст так, что формулы должны по решению (a,b,c) дать новое решение (A,B,C).

(9 Июл '17 21:41) falcao

@falcao давайте всё делать по порядку. Сперва выразим числа $%A,B,C$% в компактном виде. Если не получается Тогда разделить одно на что нибудь другое и посмотреть на что сокращаются. У них должен быть общий множитель в виде полинома. Сперва сократим формулу. Потом остальное покажу. Это надо сделать.

(9 Июл '17 21:46) Individ

@Individ: выражения для A,B,C при помощи Maple легко подсчитываются, и там везде есть одинаковый общий множитель. Но, помимо него, есть "большие" (хотя и похожие чем-то) многочлены в числителе. Но это бы всё ладно, если бы в итоге возникало тождество. Поскольку мне не ясно ни происхождение формул, ни сам подход, я тут ничего сказать не могу.

(9 Июл '17 21:57) falcao

@falcao выпиши вот это всё, что даёт Мэпл. Дай посмотреть, что за вид у него.

(9 Июл '17 22:02) Individ
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если сократить на общий множитель, то формулы получаются такие (они записаны почему-то в несимметричной форме, но так "повелел" Maple):

$%A=(b-c)(b^5+b^4a+2cb^4-cb^3a+b^3c^2-2b^3a^2-3b^2c^2a+c^3b^2-4b^2ca^2-4c^2ba^2+2bc^4+$%

$%+2ba^4-c^3ba+2bca^3-2a^2c^3+2a^4c+ac^4+a^5+c^5)$%;

$%B=(c-a)(b^5+2b^4a+2cb^4+2cb^3a-2c^3b^2-2b^2a^3-4b^2c^2a-4b^2ca^2-3c^2ba^2-$%

$%-c^3ba-bca^3+bc^4+ba^4+a^5+2a^4c+a^3c^2+c^5+a^2c^3+2ac^4)$%;

$%C=(a-b)(b^5+2b^4a+cb^4-cb^3a+b^3a^2-2b^3c^2+b^2a^3-4b^2c^2a-3b^2ca^2+2ba^4-4c^2ba^2+$%

$%+2bc^4-bca^3+2c^3ba+a^5+a^4c-2a^3c^2+c^5+2ac^4)$%.

Подстановка значений $%a=11$%, $%b=9$%, $%c=-5$% даёт именно то, что было указано в комментарии.

ссылка

отвечен 9 Июл '17 22:19

изменен 11 Июл '17 15:53

Я там оказывается ошибся. Опечатку сделал. Сейчас уже решение исправил. Получиться сейчас упростить?

(11 Июл '17 11:28) Individ

@Individ: выражения для A,B,C оказываются чуть попроще (например, A=5y^3c-4y^3cq-3y^3qb-y^3qa+6y^3b+2y^3a+5zy^2b-4zy^2qb+4zy^2c-4zy^2cq+3yz^2c+yz^2qa-yz^2qb-yz^2a+yz^2b-az^3). Но там всё равно не получается тождества, если вместо a,b,c подставить A,B,C.

(11 Июл '17 12:48) falcao

Что то напутали. Я подставил численные значения. $%q=4 , a=11, b=9, c=-5$% И получилось следующее $%A=9499, B=-8784, C=5165$% . Ладно. Тогда на сайте другом решение размещу может там кто упростит!

(11 Июл '17 12:53) Individ

@Individ: я сейчас перепроверил -- по новым формулам действительно получается тождество. Не знаю, что у меня не сработало -- я брал старые формулы, вносил исправления, потом почему-то не совпало.

Сейчас я в ответе напишу то, что получается в общем виде для A, B, C.

(11 Июл '17 15:30) falcao

Ясно. Спасибо. Не на много оно там сократилось. После постановке чисел сокращается сильнее. Значит для простоты лучше формулу оставить такой как написал. Так она компактней и легче считается.

(11 Июл '17 21:14) Individ

@Individ: я в итоге понял, почему сначала не сработало -- формулы для y, z остались без изменения, и я в предыдущем тексте не выполнил команды для присвоения для этих переменных.

(12 Июл '17 1:27) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×640
×111

задан
9 Июл '17 17:53

показан
454 раза

обновлен
12 Июл '17 1:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru