Для каждого $%b\in[1,e]$% рассмотрим последовательность $%a_{n+1}=(\sqrt[b]{b})^{a_n}$% где $%a_0=\sqrt[b]{b}$%. Докажите, что последовательность сходится и найдите предел.

задан 9 Июл '17 23:27

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим функцию $%f(x)=x^{1/x}$% на отрезке $%x\in[1;e]$%. Легко видеть, что $%f'(x)=(e^{\ln x/x})'=f(x)(\frac{\ln x}x)'=x^{1/x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2} > 0$% на интервале $%x\in(1;e)$%, откуда следует, что $%f(x)$% монотонно возрастает. В частности, она ровно по разу принимает все значения от $%1$% до $%e^{1/e}$%.

Случай $%b=1$% тривиален. Пусть $%b > 1$%. Положим $%c=\sqrt[b]b=f(b)$%. Ясно, что $%a_0 > 1$%, и тогда $%a_1=c^{a_0} > c=a_0$%. Далее по индукции из $%a_n > a_{n-1}$% выводим $%a_{n+1}=c^{a_n} > c^{a_{n-1}}=a_n$%, пользуясь возрастанием экспоненциальной функции с основанием $%c > 1$%. Тем самым, $%a_n$% монотонно возрастает.

Далее, $%a_n$% ограничена сверху числом $%b$%. Действительно, $%a_0=b^{1/b} < b$%, и по индукции из $%a_n < b$% получаем $%a_{n+1}=c^{a_n} < c^b=b$%. Отсюда следует, что $%a_n$% имеет предел. Если этот предел равен $%x$%, то из $%a_n\to x$% при $%n\to\infty$% следует $%a_{n+1}=c^{a_n}\to c^x$% ввиду непрерывности экспоненциальной функции. В силу единственности предела, имеем $%x=c^x$%, то есть $%f(x)=x^{1/x}=c=f(b)$%. Это значит, что предел равен $%x=b$%.

ссылка

отвечен 10 Июл '17 8:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
9 Июл '17 23:27

показан
236 раз

обновлен
10 Июл '17 8:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru