$%H=\{(x,y,z): z>0, x^2+y^2+z^2=R^2\}, F: R^3\rightarrow R^3$%, $$F=(x^2(y^2-z^3),xzy^4+e^{-x^2}y^4+y,x^2y(y^2x^3+3)z+e^{-x^2-y^2})$$

Найдите $%\int_H f\cdot n dS$% где $%n$% - внешняя единичная нормаль к поверхности, $%dS$% - элемент площади.

Указание. Внешняя единичная нормаль $%(x,y,z)/R$%; вычислите скалярное произведение и воспользуйтесь симметрией.

Почему нормаль такая? Как воспользоваться симметрией?

задан 10 Июл '17 22:51

изменен 11 Июл '17 13:08

Понятно, что нормаль к сферической поверхности направлена по радиусу.

Скалярное произведение <f,n> будет суммой, в которой некоторые слагаемые обладают свойством нечётности по переменной x или y. Тогда интеграл от них равен нулю. Останутся, если не ошибаюсь, только y^2 и e^{-x^2-y^2}z, интеграл от которых по сферической поверхности вычисляется без особого труда.

(11 Июл '17 0:48) falcao

Почему интеграл по нечетным по х или у функциям будет равен нулю?

(11 Июл '17 13:09) curl

@curl: интеграл от нечётной функции одной переменной по симметричному отрезку равен нулю (что очевидно). В данном случае область интегрирования симметрична как относительно замены x->-x, так и относительно замены y->-y. Поэтому, если функция симметрична хотя бы относительно одной из этих замен, то интеграл по полусфере равен нулю. По-моему, это всё должно быть ясно из общих соображений.

(11 Июл '17 15:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618

задан
10 Июл '17 22:51

показан
265 раз

обновлен
11 Июл '17 15:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru