Докажите, что произведение равномерно непрерывных ограниченных функций равномерно непрерывная функция. Приведите пример двух равномерно непрерывных функций произведение которых не равномерно непрерывно

задан 10 Июл '17 22:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%f(x)$% и $%g(x)$% равномерно непрерывны на множестве $%M\subseteq\mathbb R$%, и являются ограниченными на этом множестве. Можно тогда считать, что для некоторых констант $%C_1,С_2 > 0$% выполнены условия $%|f(x)|\le C_1$%, $%|g(x)|\le C_2$% для всех $%x\in M$%.

Для произвольного $%\varepsilon > 0$% рассмотрим такие $%\delta_1 > 0$% и $%\delta_2 > 0$%, что из условия $%|x_1-x_2| < \delta_1$% следует $%|f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2C_2}$%, а из условия $%|x_1-x_2| < \delta_2$% следует $%|g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2C_1}$% для всех $%x_1,x_2\in M$%. Положим $%\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$%. Тогда для $%x_1,x_2\in M$% из неравенства $%|x_1-x_2| < \delta$% следует $%|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\le|f(x_1)g(x_1)-f(x_1)g(x_2)|+|f(x_1)g(x_2)-g(x_1)g(x_2)|\le$%

$%\le C_1|g(x_1)-g(x_2)|+C_2|f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon$%, что доказывает равномерную непрерывность функции $%f(x)g(x)$% на $%M$%.

В качестве контрпримера для случая неограниченных функций достаточно взять $%f(x)=g(x)=x$% на всей числовой прямой. Очевидно, что тождественная функция равномерно непрерывна, а функция $%h(x)=f(x)g(x)=x^2$% таковой не является. Действительно, для любого $%\delta > 0$% можно взять $%x_1=\frac1{\delta}+\frac{\delta}2$%, $%x_2=\frac1{\delta}$%, и при этом $%|h(x_1)-h(x_2)|=x_1^2-x_2^2 > 1$%.

ссылка

отвечен 11 Июл '17 0:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
10 Июл '17 22:53

показан
573 раза

обновлен
11 Июл '17 0:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru