Две окружности касаются внутренним образом в точке s, хорда ab большей окружности касается меньшей окружности в точке p. Докажите, что луч sз делит угол asb пополам.

задан 11 Июл '17 10:03

изменен 11 Июл '17 12:09

@11qq11. У вас опечатка. Не луч so, а луч sp.

(11 Июл '17 11:04) nynko

@nynko я исправил

(11 Июл '17 12:09) 11qq11
10|600 символов нужно символов осталось
1

Не "хорда больше окружности", а "хорда большей окружности".

Здесь можно рассуждать так: рассмотрим преобразование подобия (гомотетию с центром s), при которой меньшая окружность переходит в большую. Прямая ab перейдёт в параллельную ей прямую, касающуюся большей окружности в некоторой точке p', где p' лежит на луче sp. Из параллельности хорд следует, что дуги ap' и bp' равны. Тогда равны и два вписанных угла asp' и bsp'. Это и означает, что луч sp, он же sp', делит угол asb пополам.

ссылка

отвечен 11 Июл '17 11:21

А я не умею пользоваться гомотетией :( В указаниях написано, что нужно провести общую касательную в точке S, из этого както нужно выкручиваться

(11 Июл '17 12:12) 11qq11

@11qq11: сейчас почему-то многие воспринимают гомотетию как некую "экзотику". В то время как это очень естественная и простая вещь. Никакого специального умения тут не требуется. Достаточно знать определение и несколько элементарных свойств.

(11 Июл '17 12:24) falcao

@falcao если продлить sp до пересечения с большей окружности в точке p', как доказзать, что прямая v проведенная через эту точку (параллельно ab) будет касательной к большей окружности?

(12 Июл '17 11:38) 11qq11

@11qq11: при гомотетии, как и при любом преобразовании подобия, касательная переходит в касательную. Это очевидное свойство: допустим, у вас был рисунок -- окружность и касательная к ней. Общая точка ровно одна. Если увеличить или уменьшить масштаб во сколько-то раз, это свойство сохранится. Ясно также, что окружность при изменении масштаба останется окружностью, а прямая -- прямой. А также то, что при гомотетии прямая переходит в параллельную. Из этого всё сразу следует. Искусственных решений, основанных на других соображениях, в принципе, можно предложить много, но они вряд ли будут проще.

(12 Июл '17 12:23) falcao

"не зря автор советует провести через s общую касательную". А по-моему зря. Решение @falcao красивое и простое.

@11qq11: Не могли бы Вы указать автора?

(12 Июл '17 12:45) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,920

задан
11 Июл '17 10:03

показан
610 раз

обновлен
12 Июл '17 12:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru