|
Как доказать, что число $%(2^{2014})+1$% можно представить в виде произведения трех натуральных чисел больших 1? Не понимаю никак, как доказать, на два множителя разложить могу (дополнив до полного квадрата, а затем разность квадратов), а на три - не знаю как. задан 3 Фев '13 21:31 
SenjuHashirama |
|
Если требуется явный вид разложения, а появление дробей (даже принимающих целые значения) по каким-то причинам нежелательно, то можно воспользоваться тем фактом, что $%1007=19\cdot53$%. Тогда $$2^{2014}+1=4^{1007}+1=(4^{53})^{19}+1=(4^{53}+1)(4^{954}-4^{901}+\cdots-4^{53}+1),$$ то есть получается $$(4+1)(4^{52}-4^{51}+\cdots-4+1)(4^{954}-4^{901}+\cdots-4^{53}+1).$$ Это решение не опирается на специфику двойки в основании степени, и проходит в случае замены $%2$% на $%3$% и прочие числа. отвечен 4 Фев '13 14:04 
falcao |
|
Действительно, дополнение до полного квадрата даёт два множителя. Кроме того, $$2^{2014} + 1 = 4^{1007} + 1,$$ а сумма нечётных степеней делится на сумму оснований, т.е. на 4 + 1 = 5 - и находим третий множитель, не совпадающий ни с одним из двух первых. отвечен 3 Фев '13 22:10 
splen |
А как Вы раскладываете на 2 множителя? Они ведь должны быть натуральными.
$$2^{2014}+1=2^{2014}+2 \cdot 2^{1007}+1 - 2^{1008} = (2^{1007}+1)^2 - (2^{504})^2 = ...$$