Как доказать, что число $%(2^{2014})+1$% можно представить в виде произведения трех натуральных чисел больших 1?

Не понимаю никак, как доказать, на два множителя разложить могу (дополнив до полного квадрата, а затем разность квадратов), а на три - не знаю как.

задан 3 Фев '13 21:31

изменен 4 Фев '13 14:01

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

А как Вы раскладываете на 2 множителя? Они ведь должны быть натуральными.

(3 Фев '13 23:42) DocentI

$$2^{2014}+1=2^{2014}+2 \cdot 2^{1007}+1 - 2^{1008} = (2^{1007}+1)^2 - (2^{504})^2 = ...$$

(3 Фев '13 23:46) splen
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если требуется явный вид разложения, а появление дробей (даже принимающих целые значения) по каким-то причинам нежелательно, то можно воспользоваться тем фактом, что $%1007=19\cdot53$%. Тогда $$2^{2014}+1=4^{1007}+1=(4^{53})^{19}+1=(4^{53}+1)(4^{954}-4^{901}+\cdots-4^{53}+1),$$ то есть получается $$(4+1)(4^{52}-4^{51}+\cdots-4+1)(4^{954}-4^{901}+\cdots-4^{53}+1).$$

Это решение не опирается на специфику двойки в основании степени, и проходит в случае замены $%2$% на $%3$% и прочие числа.

ссылка

отвечен 4 Фев '13 14:04

10|600 символов нужно символов осталось
3

Действительно, дополнение до полного квадрата даёт два множителя. Кроме того, $$2^{2014} + 1 = 4^{1007} + 1,$$ а сумма нечётных степеней делится на сумму оснований, т.е. на 4 + 1 = 5 - и находим третий множитель, не совпадающий ни с одним из двух первых.

ссылка

отвечен 3 Фев '13 22:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,557
×1,116
×881

задан
3 Фев '13 21:31

показан
4613 раз

обновлен
4 Фев '13 14:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru