Для каждого $%n\in N$% определим $%x_n: [-1,1]\rightarrow R$% так: $%x_n(t)=-1 $% при $%-1\le t\le -\frac{1}{n}$%, $%x_n(t)=nt$% при $%-\frac{1}{n} < t <\frac{1}{n}$%, $%x_n(t)=1$% при $%\frac{1}{n}\le t \le 1$%

Покажите, что последовательность фундаментальна в метрическом пространстве $%(C[-1,1],d)$% где $%d(x,y)=\int_{-1}^1|x(t)-y(t)|dt$% и что $%(C[-1,1],d)$% не полно

задан 11 Июл '17 13:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

Посмотрите на картинке, как Выглядит разность $%|x_n-x_m|$% ... там получится треугольник, площадь которого не превосходит $%\frac{1}{n}$%... отсюда следует фундаментальность...

Предельная функция будет разрывна ... поэтому пространство не полное...

ссылка

отвечен 11 Июл '17 15:33

Непонятно, как этот "треугольник" изображать на картинке...

(11 Июл '17 15:54) curl

@curl: это дело можно не изображать. Функции x_m и x_n при m,n>=N совпадают всюду кроме отрезка длиной <2/N. Поскольку обе они ограничены, интеграл от модуля разности будет меньше заданного eps > 0 при достаточно большом N.

(11 Июл '17 15:59) falcao

Так понятно. А как понять, что предел разрывен?

(11 Июл '17 16:18) curl

@curl: я бы рассуждал так. Предположим, что предельная функция существует и непрерывна. Тогда на [-1;-a] и [a,1] получаются значения -1 и 1 при любом a>0. Это следует из того, что x_n при достаточно больших n на этих промежутках постоянны. В силу единственности предела, получается, что предельная функция равна -1 на [-1;0) и равна 1 на (0;1]. Но непрерывной функции с такими свойствами не существует.

Можно просто указать предельную функцию в пространстве L^1[-1;1] и увидеть, что она разрывна.

(11 Июл '17 16:22) falcao

Как используется единственность предела чтобы показать что предельная функция равна -1 на [-1,0) и 1 на (0,1]?

(11 Июл '17 16:32) curl

@curl: если предельная функция на всём отрезке чему-то равна, то на любом меньшем отрезке, содержащемся в данном, она равна тому же самому. Это следует из простейших свойств интеграла. Помимо этого, здесь имелось в виду, что [-1,0) есть объединение отрезков вида [-1,-a], откуда всё следует.

Здесь речь идёт о достаточно очевидных эффектах, поэтому до уровня "аксиоматики" можно, наверное, и не доводить.

(11 Июл '17 17:18) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
11 Июл '17 13:05

показан
399 раз

обновлен
11 Июл '17 17:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru