Пусть $%R$% - коммутативное кольцо с 1, которое содержит в точности 3 идеала.

(1) Доказать, что каждый ненулевой элемент $%R$% или обратим, или является делителем нуля.

(2) Верно ли обратное?

Мысли насчет (1): если в $%R$% 3 идеала, то они $%(0),m,R$% где $%m$% максимальный. Также если $%x\in m-0$%, то $%m=(x)$%. Если $%r\in R$% не обратим, то идеал $%(r)$% должен совпадать с $%m=(x)$%. Но тогда $%x$% - делитель нуля, т.к. $%m^2=0$% по лемме Накаямы.

Насчет (2): в кольце $%\mathbb Z/(24)$% любой элемент либо обратим, либо делитель нуля (как и в любом конечном кольце). Но в этом кольце больше 3 идеалов -- в нем есть, в частности, идеалы, соответствующие идеалам $%(2),(3),(4),(6),(8)$% в $%\mathbb Z$% (содержащие $%(24)$%)

задан 13 Июл '17 14:11

изменен 13 Июл '17 17:10

1

По-моему, всё верно. Если не ссылаться на лемму, можно рассмотреть элемент x^2. Если он нулевой, то x делитель нуля. Если ненулевой, то (x^2)=(x), то есть x=rx^2 для некоторого r. Это значит, что x(1-rx)=0. Если 1-rx=0, то x обратим (чего быть по условию не может). Значит, x -- делитель нуля.

(13 Июл '17 21:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,779

задан
13 Июл '17 14:11

показан
117 раз

обновлен
7 Авг 6:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru