Пусть $%\mathbb F_3$% - поле из 3 элементов, $%\overline{\mathbb{F}}_3$% - его алгебраическое замыкание. Пусть $%K$% - поле разложения $%g(x)=x^{21}-1$%.

  1. Найти количество нулей $%g(x)$% в $%\overline {\mathbb F}_3$%.
  2. Найти количество элементов в $%K$%. Каково количество элементов в максимальных собственных подполях $%K$%?

задан 13 Июл '17 14:17

изменен 8 Авг 1:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Над полем характеристики 3 выполняется тождество $%x^{21}-1=(x^7-1)^3$%, откуда следует, что поле разложения одного многочлена совпадает с полем разложения другого. Многочлен $%x^7-1$% не имеет кратных корней, так как взаимно прост со своей производной. Также ясно, что он не равен тождественно многочлену $%(x-1)^7$%, поэтому среди его корней имеется отличный от единицы. Такой элемент имеет порядок 7 в мультипликативной группе поля. Ясно, что поле разложения конечно, и оно имеет порядок $%3^n$%. По теореме Лагранжа, $%3^n-1$% делится на $%7$%, откуда $%n\ge6$%.

Рассмотрим поле порядка $%3^6$%. Порядок мультипликативной группы кратен 7, и в группе есть элемент порядка 7. Его циклическая подгруппа даёт 7 попарно различных элементов, являющихся корнями многочлена $%x^7-1$%. Значит, именно таков порядок поля разложения. Число нулей многочлена $%g(x)$%, тем самым, равно 7.

Максимальные собственные подполя имеют порядок $%3^2=9$% и $%3^3=27$%, согласно общей теории.

ссылка

отвечен 14 Июл '17 1:58

Почему из того, что $%3^n-1$% делится на $%7$% следует, что $%n\ge 6$%?

В мультипликативной группе есть элемент порядка 7 по теореме Коши?

Почему его циклическая подгруппа даёт 7 попарно различных элементов, являющихся корнями многочлена?

Откуда следует утверждение про порядок поля разложения?

(3 Авг 21:04) Slater

@Slater: при n=1,2,..,5 получаются числа, ни одно из которых не кратно 7, что видно непосредственно. Можно вместо этого брать степени 3 по модулю 7 -- тут устно вычисляется: 3, 2, 6, 4, 5, 1. Первый раз 3^n=1 (mod 7) при n=6.

То, что мультипликативная группа конечного поля циклична, обычно используется во многих задачах, а для этого случая не надо даже теоремы Коши.

Все элементы циклической группы порядка 7 удовлетворяют тождеству x^7=1, и они дают 7 корней. Поле порядка 3^6 подходит -- там есть разложение на линейные множители. А меньшим порядок быть не может. Значит, это поле разложения.

(3 Авг 21:45) falcao

Зачем нужно замечание "Многочлен x^7−1 не имеет кратных корней"? Для ответа на вопрос "найти количество нулей в замыкании"? Но в замыкании же всегда корней столько, какова степень...

"среди его корней имеется отличный от единицы. Такой элемент имеет порядок 7 в мультипликативной группе поля" В мультипликативной группе какого поля? Правильно ли я понимаю, что здесь берется корень а из замыкания, рассматривается расширение F_3(a), и в его группе а имеет порядок 7?

То что x^7-1 не равен тождественно (x-1)^7 следует из разложения на неприводимые множители над F_3?

(8 Авг 1:08) Slater

@Slater: там требуется найти количество нулей многочлена. Оно такое же, как для x^7-1. Поэтому их ровно 7, так как нет кратных корней. Если кратные корни есть, то их будет меньше, чем степень. Скажем, у многочлена 21-й степени их не 21.

Порядок 7 имеется в виду в мультипликативной группе поля разложения, но здесь это не важно, так как если x^7=1 и x не равно 1, то порядок x равен 7.

То, что x^7-1 не равно (x-1)^7 над полем характеристики 3, очевидно. Тут даже не надо ссылаться на отсутствие кратных корней. Достаточно раскрыть скобки в (x-1)^7 по биномиальной формуле.

(8 Авг 9:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
13 Июл '17 14:17

показан
208 раз

обновлен
8 Авг 9:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru