• Пусть $%\gamma \in \mathbb{C}$% таков, что $%\gamma^2$% алгебраичен над $%\mathbb Q$%. Доказать, что $%\gamma$% алгебраичен над $%\mathbb Q$%.
  • Пусть $%\alpha,\beta\in \mathbb C$%, и $%\alpha$% трансцендентен над $%\mathbb Q$%. Доказать, что либо $%\alpha-\beta$%, либо $%\alpha\beta$% трансцендентен.

задан 13 Июл '17 14:21

изменен 8 Авг 1:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Первый факт совсем очевиден. Берём многочлен с рациональными коэффициентами, корнем которого является $%\gamma^2$%. Понятно, что $%\gamma$% при этом также будет корнем (нетривиального) многочлена с рациональными коэффициентами.

Второй факт: если $%\alpha-\beta=k$% и $%\alpha\beta=m$% оба алгебраичны (над $%\mathbb Q$%), то $%\alpha$% и $%-\beta$% будут корнями квадратного уравнения $%x^2-kx-m=0$% с алгебраическими коэффициентами. Расширение $%\mathbb Q(k,m)$% конечно над $%\mathbb Q$% в силу алгебраичности элементов. Поле $%\mathbb Q(\alpha,\beta)$% имеет над предыдущим полем размерность не более двух. Значит, это расширение конечно над основным полем, и все его элементы алгебраичны. Получается противоречие с трансцендентностью $%\alpha$%.

Из сказанного, в частности, следует, что $%\pi+e$% и $%\pi e$% не могут одновременно быть алгебраичными, хотя, насколько я знаю, алгебраичность (или даже иррациональность) никоторого из этих чисел на данный момент не установлена.

ссылка

отвечен 14 Июл '17 1:06

Почему $%\gamma$% корень? Например, $%\gamma^2=4$% является корнем $%x^2-3x-4$% но $%\gamma=2$% не является.

(14 Июл '17 3:09) Slater

@Slater: здесь речь идёт о некой очевидной очевидности. Если g^2=4, то g является корнем многочлена x^2-4. Основой здесь служит то, что всякий многочлен вида p(x^2) является также многочленом от x.

(14 Июл '17 3:14) falcao

Почему поле Q(a,b) имеет размерность над предыдущим полем размерность не более 2?

(8 Авг 1:40) Slater

@Slater: элементы a,b -- корни квадратного уравнения над P. Тогда P(a,b)=P(a), так как сумма принадлежит P. Присоединяется алгебраический элемент степени <=2, поэтому степень расширения <=2.

(8 Авг 9:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,769

задан
13 Июл '17 14:21

показан
217 раз

обновлен
8 Авг 9:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru