Пусть $%D$% - область целостности. Назовем идеалы $%I,J\subset D$% взаимно максимальными (комаксимальными), если $%I+J=D$% и взаимно простыми (копростыми) если $%I\cap J=I\cdot J$%.

  1. Доказать, что если два идеала $%I,J\subset D$% взаимно максимальны (комаксимальны), то они взаимно просты (копросты).
  2. Пусть $%D$% - область главных идеалов. Доказать, что если $%I,J\subset D$% взаимно просты (копросты), то они взаимно максимальны (комаксимальны).

задан 13 Июл '17 14:24

изменен 7 Авг 6:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Ввиду того, что произведение идеалов всегда содержится в их пересечении, достаточно доказать включение в другую сторону.

По условию, в $%D$% есть единица, и тогда $%1=a+b$% для некоторых $%a\in I$%, $%b\in J$%. Рассмотрим элемент $%x\in I\cap J$%. Тогда она равен $%x=x(a+b)=xa+xb=ax+xb$%, где оба слагаемых принадлежат $%IJ$%.

2) Оба идеала являются главными: $%I=(a)$%, $%J=(b)$%. Идеал $%(a,b)=I+J$% также является главным. Пусть он равен $%(d)$%, где $%d=au+bv$% для некоторых $%u,v\in D$%. Ему принадлежат $%a$% и $%b$%, поэтому можно положить $%a=dx$%, $%b=dy$%. В условии должна быть сделана оговорка, что $%I$% и $%J$% ненулевые, так как в противном случае утверждение не будет верно. Получается, что $%d,x,y\ne0$%.

Рассмотрим элемент $%dxy\in I\cap J$%. По условию, он принадлежит $%IJ=(ab)$%, то есть равен $%d^2xyz$% для некоторого $%z\in D$%. Сокращая на $%dxy\ne0$%, имеем $%1=dz$%, то есть $%d$% обратим в кольце. Из равенства $%d=au+bv$% теперь следует, что $%1\in I+J$%, то есть $%I+J=D$%.

ссылка

отвечен 14 Июл '17 1:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
13 Июл '17 14:24

показан
139 раз

обновлен
7 Авг 6:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru