Описать все конечно порожденные абелевы группы, у которых любая собственная подгруппа циклическая.

задан 14 Июл '17 13:03

изменен 7 Авг 6:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Группа изоморфна прямому произведению циклических. Ясно, что любая циклическая группа подходит; осталось описать нециклические.

Если есть прямое слагаемое $%\mathbb Z$%, то группа имеет вид $%\mathbb Z\oplus A$%. Она не циклическая, но тогда подгруппа $%2\mathbb Z\oplus A$% собственная, и она изоморфна всей группе, то есть не циклична. Значит, бесконечных циклических слагаемых у нас нет.

Таким образом, группа конечна, и является прямым произведением примарных компонент. Если они все циклические, то группа циклична. Находим некоторую нециклическую примарную компоненту. В ней по меньшей мере два сомножителя. Их не может быть больше двух, так как тогда оставляем два сомножителя, получая собственную нециклическую подгруппу. Кроме того, других примарных компонент нет, так как в противном случае можно оставить одну рассматриваемую нециклическую компоненту, получая собственную подгруппу.

Таким образом, остаётся случай группы вида $%\mathbb Z_{p^m}\times\mathbb Z_{p^n}$%. Если $%m > 1$%, то есть нециклическая собственная подгруппа $%\mathbb Z_{p^{m-1}}\times\mathbb Z_{p^n}$%. Аналогично для $%n > 1$%. Получается случай группы $%\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p$%. Он подходит, так как неединичная собственная подгруппа здесь имеет порядок $%p$%, и она циклична.

ссылка

отвечен 14 Июл '17 18:11

изменен 14 Июл '17 18:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
14 Июл '17 13:03

показан
142 раза

обновлен
7 Авг 6:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru