|
По условию X - банахово пространство. A - линейный ограниченный оператор $%(A:X\to X)$%. Необходимо показать, что ряд $%\sum_{n=0}^{\infty} A^k$% сходится тогда и только тогда, когда $%\|A^k\| < 1$% при некотором $%k$%. Необходимость я доказал, используя сходимость ряда для нормы и необходимое условие сходимости числового ряда. Однако с достаточностью возникают проблемы. Если предположить, что $%\|A^k\| < 1$%, то я получаю, что $%\|A^{k+1}\| \leq \|A\|$%, однако про последнюю я не могу сказать ничего путного. Из этого условия вытекает только то, что $%\|A^{nk}\| \leq \|A^{(n-1)k}\|$% для натурального n, и эти целые степени степеней образуют убывающую последовательность. Я думал как-то использовать $%\|A^k\|\leq\|A\|^k$%, однако оно ничего не даст. Подтолкните меня на правильную мысль, пожалуйста. задан 5 Фев '13 8:41 
MathTrbl |
|
Видимо, в условии - строгое неравенство: $%|| A^k || < 1,$% т.к. в противном случае условию удовлетворяет единичный оператор $%A=E,$% для которого $%||A^k||=1$% при всех $%k,$% но указаный ряд расходится. $$$$ Если действительно имелось в виду строгое неравенство, то для доказательства достаточности можно, пользуясь критерием Коши, рассмотреть сумму $$\sum\limits_{i=M}^{N}A^i$$ с произвольными $%M$% и $%N$% $%(N > M)$%, для которых подобрать такие $%m$% и $%n$%, что $%mk \leq M < (m+1)k$% и $%N \leq nk-1$%, после чего получается, что $$||\sum\limits_{i=M}^{N}A^i|| \leq \sum\limits_{i=mk}^{nk-1}||A||^i =$$ $$=\left(1+||A||+||A^2||+...+||A^{k-1}|| \right)\left(||A^k||^m+||A^k||^{m+1}+...+||A^k||^{n-1} \right) = $$ $$ =\left(1+||A||+||A^2||+...+||A^{k-1}|| \right)\frac{1-||A^k||^{n-m}}{1-||A^k||}||A^k||^{m},$$ и отсюда получается сходимость, т.к. $%m$% и $%n$% неограниченно растут, если неограниченно растут $%M$% и $%N$%. отвечен 5 Фев '13 11:46 
splen действительно опечатался, имелось в виду строгое.
(5 Фев '13 11:48)
MathTrbl
|