При каком наименьшем натуральном значении $%n$% уравнение $$nx^2-47y^2=2017$$ имеет решение в целых числах?

задан 14 Июл '17 15:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть решение имеется. Тогда $%nx^2\equiv-4\pmod{47}$%. Случай $%n=1$% не походит, так как $%(\frac{-4}{47})=(\frac{-1}{47})=-1$% ввиду того, что $%47=4k+3$%. При $%n=2$% оказывается, что $%x^2\equiv-2\pmod{47}$%, однако $%(\frac{-2}{47})=(\frac{-1}{47})(\frac2{47})=-1$% с учётом того, что $%47\pm1$% кратно 8. При $%n=3$% сравнение равносильно $%3x^2\equiv-4\equiv90\pmod{47}$%, откуда $%x^2\equiv30\pmod{47}$%, однако и здесь $%(\frac{30}{47})=(\frac3{47})(\frac5{47})=-(\frac{47}3)(\frac{47}5)=-(\frac23)(\frac25)=-1$%. Случай $%n=4$% не даёт решений, как и случай $%n=1$%.

При $%n=5$% решение имеется, и достаточно его явно указать: при $%x=21$%, $%y=2$% получается $%5x^2-47y^2=2205-188=2017$%.

ссылка

отвечен 14 Июл '17 17:53

@falcao, большое спасибо!

(15 Июл '17 11:56) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×128

задан
14 Июл '17 15:52

показан
310 раз

обновлен
15 Июл '17 11:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru