m,n > 1, натуральные числа. K = m + (m + 1) + (m + 2) + ... + (m + n). Для каких n, делиться K на n? Сколько решение есть при m = 2017?

задан 19 Июл '17 17:18

изменен 19 Июл '17 17:20

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$K=m + (m + 1) + (m + 2) + ... + (m + n)$$ $$K=(n+1)m+\frac{n(n+1)}{2}$$ $$K=\frac{(n+1)(2m+n)}{2}=(n+1)\frac{2m+n}{2}$$ Так как числа $%(n+1)$% и $%n$% взаимно простые, то $%\frac{2m+n}{2}$% должно делиться на $%n$%, т.е. должно выполняться условие $%\frac{2m+n}{2}=l\cdot n$%, для некоторого целого $%l$% $$\frac{2m+n}{2}=l\cdot n$$ $$2m+n=2l\cdot n$$ $$n=\frac{2m}{2l-1}$$ Если $%m=2017 -$% простое, то решений будет всего два при $%l=1$% ($%n=2\cdot2017=4034$%) и $%2l-1=2017$% ($%n=2$%)

Ответ: $%n=2$% и $%n=4034$%

ссылка

отвечен 19 Июл '17 21:04

Решения всегда будут, если $%m$% не является степенью двойки.

(19 Июл '17 21:10) goldish09

А когда будет только одно решение? Спасибо.

(20 Июл '17 0:21) LevAroniansFan

Если m = 1; то l = 1, одно решение.

(20 Июл '17 0:34) Williams Wol...

да, но как доказать, что других решений нет.

(20 Июл '17 13:10) LevAroniansFan

@LevAroniansFan: Это непосредственно следует из простоты числа 2017

(20 Июл '17 15:32) goldish09

@goldish09: Я имел ввиду, как доказать что кроме m = 1 нет других значений, при которых есть только одно решение. Когда m = 2017 то есть 2 решений. Спасибо.

(20 Июл '17 16:01) LevAroniansFan

@LevAroniansFan: Поточу что только у единицы один нечетный делитель, у всех других чисел (кроме степеней двойки) их как минимум два.

(20 Июл '17 20:05) goldish09

@goldish09: А как же один? Например 2^4 = 16, есть же делитель 1. 16 / 1 = 16. Можете объяснить?

(20 Июл '17 20:19) LevAroniansFan

Вы правы, единственное решение будет и в случаях, когда $%m$% является степенью двойки

(20 Июл '17 23:35) goldish09
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×334

задан
19 Июл '17 17:18

показан
378 раз

обновлен
20 Июл '17 23:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru