Помогите решить.

Условие: https://prnt.sc/fyijj8

карандашом написано: неравенства существуют одновременно! здесь что-то с собственными числами связано?

задан 21 Июл '17 17:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

С собственными числами это не связано: тут нет линейных операторов.

Я буду опускать для простоты "стрелочки" над векторами. Вопрос такой: существуют ли три таких пространственных вектора $%a$%, $%b$%, $%c$%, для которых следующие три неравенства выполняются одновременно: $%\sqrt3|a| < |b-c|$%, $%\sqrt3|b| < |c-a|$%, $%\sqrt3|c| < |a-b|$%?

Ответ здесь отрицательный. В самом деле, неравенства можно возвести в квадрат и воспользоваться тем, что квадрат длины вектора равен скалярному квадрату. При этом получится, что $%3a^2 < (b-c)^2=b^2+c^2-2bc$%; $%3b^2 < c^2+a^2-2ac$%; $%3c^2 < a^2+b^2-2ab$%. Если теперь всё сложить и чуть упростить, то получится $%a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc < 0$%, но это невозможно, так как левая часть равна скалярному квадрату вектора $%a+b+c$%.

ссылка

отвечен 21 Июл '17 19:48

изменен 21 Июл '17 20:33

@falcao, Спасибо огромное!Сам бы не додумался, но как Вы считаете: не слишком ли легкая задача для международной олимпиады(просто такое маленькое решение у Вас получилось)) )?

(21 Июл '17 20:25) Романенко
1

@Романенко: для Международной вообще-то неожиданно лёгкая (я запомнил условие, а потом решал устно во время перекура).

(21 Июл '17 20:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,859
×1,399

задан
21 Июл '17 17:28

показан
256 раз

обновлен
21 Июл '17 20:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru