Дан выпуклый многоугольник площади 9. Его пересекают десять параллельных прямых на расстоянии 1 друг от друга. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольником на этих прямых, не более десяти.

задан 23 Июл '17 19:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Обозначим длины отрезков через $%a_1$%, ... , $%a_{10}$%, в порядке следования. Рассмотрим какие-то два таких соседних отрезка $%AB$% и $%CD$%, где лучи $%AB$% и $%CD$% сонаправлены. Тогда у нас получается трапеция (или параллелограмм) $%ABDC$%, целиком содержащаяся в пределах многоугольника, по причине его выпуклости. Высота фигуры равна 1, и её площадь равна $%(AB+CD)/2$%.

Складывая сумму девяти таких фигур между 10 прямыми, имеем величину $%\frac{a_1+a_2}2+\frac{a_2+a_3}2+\cdots+\frac{a_9+a_{10}}2$%, которая не превосходит площади всей фигуры, то есть она $%\le9$%. Теперь рассмотрим трапецию (в вырожденном случае -- параллелограмм) с основаниями длиной $%a_1$% и $%a_{10}$%, высотой 9. Её площадь также не больше 9, откуда $%\frac{a_1+a_{10}}2\le1$%. Складывая с неравенством, полученным выше, имеем $%a_1+\cdots+a_{10}\le10$%.

ссылка

отвечен 23 Июл '17 20:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
23 Июл '17 19:49

показан
808 раз

обновлен
23 Июл '17 20:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru