Незнайка заявил, что ему удалось разбить множество всех натуральных чисел на три непустых непересекающихся подмножества таким образом, что какие бы три числа (по одному из каждого подмножества) мы не выбрали, их сумма всегда будет простым числом.

Зайка, немного подумав, ответил Незнайке: "Ты неправ!".

Объясните, как мог Зайка прийти к такому умозаключению.

задан 26 Июл '17 0:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если все числа простые, то они должны быть нечётны (минимальное значение суммы равно 6). Тогда ни в одной из групп не должно быть чисел разной чётности ввиду возможности поменять чётность суммы. Тогда в любой из групп, числа либо все чётны, либо все нечётны. Отсюда легко сделать вывод, что все нечётные числа образуют одну из групп, а чётные как-то разбиты на две части.

Пусть a,b,c -- наименьшие числа групп, где c нечётно. Среди значений сумм встречаются числа S, S+2, S+4, где S=a+b+c. Понятно, что одно из этих трёх чисел делится на 3, то есть не является простым.

ссылка

отвечен 26 Июл '17 8:46

@falcao, большое спасибо!

(26 Июл '17 11:59) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: данный факт верен при разбиении на любое конечное число групп. Идея такая: простых чисел мало, их доля в отрезке от 1 до N мала по сравнению с N. Вместе с тем, одна из k групп содержит не менее N/k чисел, и если к числам этой группы прибавить константу (сумму минимальных элементов остальных групп), то все числа не окажутся простыми при N>>1.

(26 Июл '17 21:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Идея есть, но она несколько сырая.
Незнайка может разбить все множ-во натуральных чисел тремя способами:
(С точностью до переименования, конечно)
1) A - конечное, B - конечное, C - счетное.
2) A - конечное, B - счетное , С - счетное.
3) А - счетное, В - счетное, С - счетное.
Сначала скажем, что для любого числа $%а$% существует бесконечно много $%b$%, что $%a + b$% составное.$%(1)$% Это следует из счетности составных чисел.
Теперь рассмотрим первый вариант разбиения. Докажем, что всегда будет существовать такой способ выбрать три числа из множ-в А, В, и С соответственно, что их сумма будет составным с помощью метода мат. индукции
1) |A| = 1, |B| = 1. Тогда по утверждению для суммы $%a \in A$% и $%b \in B$% существует $%c \in C$%, что их сумма составное для любых a и b.
2) Пусть утверждение выполняется для любых наборов из k чисел. |A| = k, |B| = k. Рассмотрим |A| = k+1 и |B| = k+1. Тогда, т.к. для любого набора из k чисел существует число из С, что сумма a + b + c -- составное, то и для набора из k + 1 чисел найдется такая тройка. Здесь рассмотрим два варианта -- мы пополнили множества A и B за счет того элемента из С, который дополнял наш предыдущий пример до составного или любым другим произвольным элементом. Существование числа в первом случае следует из утверждения о бесконечности чисел b, что a + b -- cоставное. Во втором случае достатчно взять пример, который был использован для k элементов. Для такого разбиения утверждение доказано. Хотелось бы продолжить рассуждение для двух других разбиений, сказав, что раз доказано все для конечного числа элементов, то и из счетного тем более можно выбрать такой пример, но проблема в том, что новое разбиение заберет счетное количество элементов из C, и тогда утверждение (1) может быть неверным. Интуитивно кажется, что оно останется верным, но для этого, наверное, надо привлечь ординальные числа или какую-то другую, более тонкую теорию.

ссылка

отвечен 26 Июл '17 6:00

изменен 26 Июл '17 6:02

Надо вообще рассматривать случай, когда мощности A и B не равны, проводить индукцию сразу по двум параметрам, наверное. Либо положить k = min(|A|, |B|)

(26 Июл '17 6:03) Copper_Kettle

И, наверно, не корректно проводить индукцию по конечному числу элементов, но идея мне кажется верной, так что я ответ оставлю.

(26 Июл '17 6:24) Copper_Kettle
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×128

задан
26 Июл '17 0:30

показан
523 раза

обновлен
26 Июл '17 21:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru