Натуральное число умножили на 2. Сумма десятичных цифр полученного призведения оказалась вчетверо меньше суммы десятичных цифр множимого. Какое наименьшее значение могло принимать множимое?

Поигравшись с пятёрками и шестёрками, нетрудно найти пример. Число 5555556 имеет сумму цифр 36, а 11111112 - сумму цифр 9. Вопрос в том, наименьшее ли оно?

Пожалуйста, помогите решить. Заранее благодарю!

задан 26 Июл '17 12:01

1

Maple, поработав какое-то время, перебирая всё с самого начала, нашёл именно это число. Теперь осталось доказать "руками", что оно наименьшее.

(26 Июл '17 13:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Условие запишем в виде: $% 4S(2n)=S(n), $% где $% n $% –искомое число, $% S(\cdot) $% – сумма цифр. Отсюда $% 8S(n) \equiv S(n) \mod 9, S(n) \equiv 0 \mod 9. $%

Пусть $% (\alpha_0, \dots, \alpha_m) $% – цифры этого числа, $% \gamma_0, \dots, \gamma _m $% – индикаторы превышения соответствующими цифрами числа 4, т. е. $% \gamma_j = 0 $% при $% \alpha_j < 5 $% и $% \gamma_j = 1 $% в противном случае. Обозначим $% \gamma=(\gamma_0, \dots, \gamma _m) $% – число, цифрами которого являются индикаторы $% \gamma_j. $%

Тогда $% S(2n)= 2S(n)- 9S(\gamma), 4(2S(n)- 9 S(\gamma))= S(n), $% $% 7 S(n)=36 S(\gamma), $% откуда $% S(\gamma)=7k, S(n)=36k, S(2n)=9k (k=1,2, \dots) $%.

Минимальное число, удовлетворяющее последнему условию, это $% n=5555556. $%

ссылка

отвечен 30 Июл '17 15:19

изменен 30 Июл '17 15:22

@Urt, большое спасибо!

(31 Июл '17 0:23) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,091
×1,077
×337
×209
×122

задан
26 Июл '17 12:01

показан
409 раз

обновлен
31 Июл '17 0:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru