Я хочу построить касательную к эллиптической кривой $%y^2 = x^3 + x + 4$%,заданной над конечным полем $%{F}_{11}$%, в точке $%(9; 4)$%, и найти точку ее пересечения с кривой. Я воспользовался формулой нахождения касательной $%y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$%. Для начала продифференцировал неявную функцию (уравнение кривой):

$%y' = \frac{3x^2 + 1}{2y}$%

Поскольку я строю касательную в точке $%(9;4)$%, подставляю ее координаты в выражение производной и в уравнение касательной, проводя вычисления в $%{F}_{11}$%. Получаю:

$%y - 4 = 3(x-9) \rightarrow y = 3x + 10 (mod 11)$%

Как теперь найти точку пересечения? Просто приравнять два уравнения друг другу не получится.

задан 28 Июл '17 17:32

изменен 28 Июл '17 23:08

1

Почему не получится? Подставляете y=3x-1 в уравнение кривой, получаете кубическое уравнение x^3+2x^2-4x+3=0. Один корень известен, делим на x+2, получаем x^2-4. Это даёт два корня x=2 и x=-2 (кратный). Тогда x=2, y=5 даёт точку пересечения.

(28 Июл '17 21:56) falcao

Спасибо. А почему именно подставляем, а не решаем систему уравнений или не приравниваем какие-либо части этих уравнений? У меня в базовых вещах какие-то пробелы.

(28 Июл '17 22:09) Untoten
1

А почему именно подставляем ... ? - а это разве не метод решения системы уравнений?...

(28 Июл '17 22:21) all_exist

Да, метод, все верно.

(28 Июл '17 22:28) Untoten

@Untoten: точка пересечения прямой и кривой удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому и подставляем.

(28 Июл '17 23:39) falcao
1

Можно поинтересоваться? Насколько корректно использовать теоремы классического анализа (вроде дифференцирования, нахождения касательных), работая в конечных полях? В данном случае я задачу решил, и ответ правильный, но мне говорят, что теоремы анализа в конечных полях не работают, и может быть напряженка из-за того, что deg f'(x) не всегда совпадает с deg f(x) - 1.

(29 Июл '17 16:19) Untoten

@Untoten: там есть тонкости, но здесь они роли не играют. Дифференцирование определяется формально, и над любыми полями верны формулы, известные из анализа. Разница может быть такая: если дифференцируем (x-a)^{k}g(x), где g(a) не равно нулю, то получается (x-a)^{k}g'(x)+k(x-a)^{k-1}g(x). Если кратность корня k делится на характеристику поля, то у производной не всегда происходит уменьшение кратности корня на единицу. Но здесь степени маленькие, на 11 ничего не делится, и "патологий" нет. На худой конец, это можно считать "эвристикой", а в итоге будет коренб x=-2 кратности 2, что проверяется.

(29 Июл '17 21:33) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
28 Июл '17 17:32

показан
517 раз

обновлен
29 Июл '17 21:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru