На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки, точки являются основаниями высот и биссектрис.


  1. Используя только линейку без делений, определить где высоты, а где биссектрисы.
  2. Сделать п.1 проведя только 3 прямые

Задача с прошедшего школьного матбоя

задан 5 Фев '13 20:29

изменен 6 Фев '13 16:50

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
4

Нам достаточно знать, какая сторона больше, а какая меньше, так как биссектриса находится ближе к большей стороне, чем высота. Треугольник разносторонний, так как никакая высота не совпадает с биссектрисой.
Возьмем точки $%A_1 \in AB $% и $%A_2\in AC$%, ближайшие к вершине $%A$%. Проведем через них прямую, она пересечет $%BC$% либо со стороны точки $%B$%, либо со стороны точки $%C$%.
Далее надо разобрать три случая: обе точки от биссектрис, обе от высот и смешанный случай.

Во всех случаях прямая $%A_1A_2$% пересекает $%BC$% с той стороны, где сторона треугольника меньше. То есть, если $%AB < AC$%, то $%A_1A_2$% пересечет $%BC$% на продолжении стороны за точку $%B$%. Таким образом нам хватит двух прямых, чтобы выяснить сравнительную величину сторон.

Доказательство основного факта основано на:
1. Для двух биссектрис - сравнение тех долей, которые они отсекают от соответствующих сторон.
2. Для двух высот - на том, что прямая, соединяющая основания высот, отсекает подобный, но "перевернутый" треугольник.
3. В смешанном случае например, $%A_1$% - основание биссектрисы, $%A_2$% - высоты, обязательно сторона $%AB < AC$% и можно воспользоваться п. 1 (прямая $%A_1A_2$% наклонена к $%BC$% под еще большим углом, чем та, что соединяет основания биссектрис.

ссылка

отвечен 6 Фев '13 9:41

изменен 6 Фев '13 10:46

Как понять какая сторона больше-понятно, а вот дальше нет, как нам сравнить доли которые они отсекают от соответсвующих сторон

(6 Фев '13 16:13) danny_leonov

А мне не понятно. Можете объяснить?

(6 Фев '13 16:20) chameleon

Вот мне тоже, еще и без дополнительных построений

(6 Фев '13 16:40) danny_leonov

Рассмотрим случай биссектрис. Точка $%A_1$% отсекает от стороны $%AB$% долю $%{b\over b + a}$%. Если провести через нее прямую, параллельную $%BC$%, она отсчет такую же долю от стороны $%AC$%. Но точка $%A_2$% отсекает долю $%c\over c + a$%. Если $%c <b$%, то эта доля меньше предыдущей, т.е. точка $%A_2$% лежит ближе к вершине $%A$%. Значит, прямая $%A_1A_2$% пересекает $%BC$% со стороны точки $%B$%.

(6 Фев '13 20:02) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Высоты короче биссектрис.Длина перпендикуляра меньше,чем длина другого отрезка, проведенного из той же точки.

ссылка

отвечен 5 Фев '13 22:43

Только вот как мы сравним длины отрезков, если у нас линейка без делений?

(5 Фев '13 23:05) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я бы решил эту задачу, используя линейку как уголок для проверки на перпендикулярность. Но, подозреваю, что такой ответ не принимается :)

ссылка

отвечен 5 Фев '13 23:04

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если линейка двусторонная (то есть можем построить параллельные прямые).Построим ромб, который имеет общую вершину и две общие стороны с треугольником. Диогональ этого ромба,которая проведен через общую вершину будет биссектрсой треугольника.

ссылка

отвечен 5 Фев '13 23:12

изменен 6 Фев '13 0:03

Причем это можно сделать проведя три прямые.

(6 Фев '13 8:18) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если линейка двусторонняя то можем построить параллелограмм на любых двух сторонах. Диагональ параллелограмма содержит медиану треугольника. Точка которая будет ближе к основанию медианы, будет точкой биссектрисы, которая дальше - основанием высоты. Повторив построения для двух других пар сторон идентифицируем остальные очки.

ссылка

отвечен 6 Фев '13 1:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,328

задан
5 Фев '13 20:29

показан
1111 раз

обновлен
6 Фев '13 20:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru