геометрия - Высоты и биссектрисы

Нам достаточно знать, какая сторона больше, а какая меньше, так как биссектриса находится ближе к большей стороне, чем высота. Треугольник разносторонний, так как никакая высота не совпадает с биссектрисой.
Возьмем точки $%A_1 \in AB $% и $%A_2\in AC$%, ближайшие к вершине $%A$%. Проведем через них прямую, она пересечет $%BC$% либо со стороны точки $%B$%, либо со стороны точки $%C$%.
Далее надо разобрать три случая: обе точки от биссектрис, обе от высот и смешанный случай.

Во всех случаях прямая $%A_1A_2$% пересекает $%BC$% с той стороны, где сторона треугольника меньше. То есть, если $%AB < AC$%, то $%A_1A_2$% пересечет $%BC$% на продолжении стороны за точку $%B$%. Таким образом нам хватит двух прямых, чтобы выяснить сравнительную величину сторон.

Доказательство основного факта основано на:
1. Для двух биссектрис - сравнение тех долей, которые они отсекают от соответствующих сторон.
2. Для двух высот - на том, что прямая, соединяющая основания высот, отсекает подобный, но "перевернутый" треугольник.
3. В смешанном случае например, $%A_1$% - основание биссектрисы, $%A_2$% - высоты, обязательно сторона $%AB < AC$% и можно воспользоваться п. 1 (прямая $%A_1A_2$% наклонена к $%BC$% под еще большим углом, чем та, что соединяет основания биссектрис.