На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки, точки являются основаниями высот и биссектрис.
Задача с прошедшего школьного матбоя задан 5 Фев '13 20:29 danny_leonov |
Нам достаточно знать, какая сторона больше, а какая меньше, так как биссектриса находится ближе к большей стороне, чем высота. Треугольник разносторонний, так как никакая высота не совпадает с биссектрисой. Во всех случаях прямая $%A_1A_2$% пересекает $%BC$% с той стороны, где сторона треугольника меньше. То есть, если $%AB < AC$%, то $%A_1A_2$% пересечет $%BC$% на продолжении стороны за точку $%B$%. Таким образом нам хватит двух прямых, чтобы выяснить сравнительную величину сторон. Доказательство основного факта основано на: отвечен 6 Фев '13 9:41 DocentI Как понять какая сторона больше-понятно, а вот дальше нет, как нам сравнить доли которые они отсекают от соответсвующих сторон
(6 Фев '13 16:13)
danny_leonov
А мне не понятно. Можете объяснить?
(6 Фев '13 16:20)
chameleon
Вот мне тоже, еще и без дополнительных построений
(6 Фев '13 16:40)
danny_leonov
Рассмотрим случай биссектрис. Точка $%A_1$% отсекает от стороны $%AB$% долю $%{b\over b + a}$%. Если провести через нее прямую, параллельную $%BC$%, она отсчет такую же долю от стороны $%AC$%. Но точка $%A_2$% отсекает долю $%c\over c + a$%. Если $%c <b$%, то эта доля меньше предыдущей, т.е. точка $%A_2$% лежит ближе к вершине $%A$%. Значит, прямая $%A_1A_2$% пересекает $%BC$% со стороны точки $%B$%.
(6 Фев '13 20:02)
DocentI
|
Высоты короче биссектрис.Длина перпендикуляра меньше,чем длина другого отрезка, проведенного из той же точки. отвечен 5 Фев '13 22:43 nadyalyutik Только вот как мы сравним длины отрезков, если у нас линейка без делений?
(5 Фев '13 23:05)
chameleon
|
Если линейка двусторонная (то есть можем построить параллельные прямые).Построим ромб, который имеет общую вершину и две общие стороны с треугольником. Диогональ этого ромба,которая проведен через общую вершину будет биссектрсой треугольника. отвечен 5 Фев '13 23:12 ASailyan Причем это можно сделать проведя три прямые.
(6 Фев '13 8:18)
ASailyan
|
Если линейка двусторонняя то можем построить параллелограмм на любых двух сторонах. Диагональ параллелограмма содержит медиану треугольника. Точка которая будет ближе к основанию медианы, будет точкой биссектрисы, которая дальше - основанием высоты. Повторив построения для двух других пар сторон идентифицируем остальные очки. отвечен 6 Фев '13 1:20 Танюша |