Берём число 1.

Далее, если число чётное, делим на 2 и прибавляем к частному наименьшее простое число, которое мы ещё не использовали.

Если нечётное, вычитаем 1, делим на 2 и прибавляем к частному наименьшее простое число, которое мы ещё не использовали.

Получается последовательность 1 2 4 7 10 16 21 27 ...

Будет ли она всегда возрастать и как об этом узнать?

Заранее благодарю!

задан 8 Авг '17 16:12

изменен 17 Дек '18 3:20

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


8.3k216

10|600 символов нужно символов осталось
2

Утверждение верно при достаточно общих предположениях. Пусть вместо простых чисел дана произвольная последовательность $%2\le p_1 < p_2 < \cdots\,$%. В условии рассматривается последовательность $%a_1=1$%; $%a_{n+1}=[a_n/2]+p_n$% при $%n\ge1$%. Введём новую последовательность $%b_1=1$%; $%b_{n+1}=b_n/2+p_n$%. Очевидно, что $%b_n\ge a_n$% при всех $%n$% (индукция).

Возрастание последовательности означает, что $%p_n > a_n-[a_n/2]=[\frac{a_n+1}2]$%. Достаточно доказать, что $%p_n > \frac{b_n+1}2$%, то есть $%2p_n\ge b_n+2$%. При $%n=1$% это верно. Далее применяем индукцию. Пусть $%n > 1$%; тогда по предположению $%b_{n-1}\le2p_{n-1}-2$%, откуда $%b_n=\frac{b_{n-1}}2+p_{n-1}\le2p_{n-1}-1\le2p_n-2$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 8 Авг '17 21:27

1

@falcao, большое спасибо! А последовательность красивая, правда?

(9 Авг '17 0:19) Аллочка Шакед
2

@Аллочка Шакед: да, интересная -- по нескольким первым членам разгадать закономерность сходу не очень легко.

(9 Авг '17 8:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×24

задан
8 Авг '17 16:12

показан
469 раз

обновлен
17 Дек '18 3:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru