Условие. В евклидовом пространстве $%E$% даны два подпространства $%U$% и $%V$% . Оператор $%A : U → U$% действует так: всякий вектор $%x ∈ U$% сначала ортогонально проецируется на $%V$% , а потом полученный вектор ортогонально проецируется на $%U$%. Докажите, что $%A$% самосопряжён.

Решение. Пусть $%P_U : E → E$% и $%P_V : E → E$% — операторы ортогональных проекций на $%U$% и $%V$% соответственно. Тогда оператор $%\widetilde{А}= P_U P_V P_U$% , очевидно, самосопряжён. Остаётся заметить, что $%A$% является сужением $%\widetilde{А}$% на инвариантное относительно $%\widetilde{А}$% подпространство $%U$%.

  1. Из какого это раздела математики?
  2. Что нужно изучить чтобы понять эту задачу с условием?
  3. Какова основная идея задачи?

задан 9 Авг '17 14:23

изменен 12 Авг '17 15:47

Это что-то из функционального анализа?

(9 Авг '17 14:34) Романенко

Пнятно, здесь кажись очень много нужно чего знать: мне пока не по силам.

(9 Авг '17 15:38) Романенко
1

поскольку пространство "евклидово", то оно конечномерное... поэтому скорее всего это алгебра, а не функан...

определение подпространства, проектора - оператора проецирования, скалярного произведения и самосопряжённого оператора в алгебре тоже определяются... и ничего страшного в этом нет...

(9 Авг '17 18:36) all_exist

@all_exist, спасибо, уже начал читать про это, а можете пожалуйста по подробнее рассказать на моменте, где написано:"очевидно,самосопряжен" ?.......... вот еще хотел спросить: а если задавать вопросы в других топиках, это нормально или лучше новый топик создать на похожую тему ?....... и если дано(допустим месяц) уже этот топик кончили обсуждать, то лучше уже там ничего не спрашивать? (интересуют вот такие формальности, думаю это правильно?! )

(9 Авг '17 22:26) Романенко
1

@Романенко: это линейная алгебра. Посмотрите здесь стр. 66, параграф 4.3. Там написано про самосопряжённость ортогональных проекторов.

(9 Авг '17 23:04) falcao

@Романенко, видимо самосопряжённость ортогонального проектора тут считается известным фактом... (хотя её нетрудно проверить по определению руками) ...

Остаётся добавить, что при сопряжении произведения операторов меняется их порядок... но тут в силу структуры произведения всё остаётся тем же самым...

(9 Авг '17 23:12) all_exist

Что касается других топиков, то спрашивать там можно... правда, не все их просматривают... если топик совсем давнишний, то наверное имеет смысл создать свой топик с вопросом и дать ссылку на исходник...

(9 Авг '17 23:13) all_exist

@all_exist, спасибо, я кое-что почитал, но вот еще вопрос: "Остаётся добавить, что при сопряжении произведения операторов меняется их порядок"-- почему-то пока в голове всплывает образ порядка произведения операторов, т.е. что произведение операторов не коммутативно. Это связано с сопряженностью? ( вопрос наверное еще далек от Вашего объяснения, но пока только такие ассоциации(( )

(12 Авг '17 14:48) Романенко

@Романенко, Это связано с сопряженностью? - я не чётко выразился... имелось ввиду, что при сопряжении произведения получается произведение сопряжённых операторов в обратном порядке... то есть $%(AB)^{\star}=B^{\star}A^{\star}$% ... а дальше использование самосопряжённости...

(12 Авг '17 14:54) all_exist

P.S.: пока только изучил(надеюсь) свойства операторов, понял, что проектор-- это вид матрици и посмотрел примеры линейных операторов(операторы диф-ия, умножения на ф-ию, умножения на число).Надеюсь взял правильный след!?

(12 Авг '17 14:59) Романенко

@all_exist, спасибо.

А вот, если взять допустим оператор дифференцирования, то какой будет ему сопряженный и обратный оператор?

Или это не корректный вопрос?

(12 Авг '17 15:02) Романенко

всё зависит от пространств и скалярного произведения...

(12 Авг '17 15:10) all_exist

@all_exist, а если для моего случая в задаче?(чтоб хотя бы иметь представление, что это может быть, а то в учебниках пока только встречал буквы $%A$% и $%B$%)

(12 Авг '17 15:15) Романенко

А каким боком оператор дифференцирования относится к Вашей задаче?...

(12 Авг '17 15:16) all_exist

@all_exist, ой, похоже линейные операторы тут ни при чем!

Я только прочитал: т.е. самосопряженными операторами являютсю матрицы и интегральные операторы.

Получается для примера можно взять матрицу(вместо оператора диф-ия)?

(12 Авг '17 15:24) Романенко

Т.е. для примера можно взять матрицу? - можно...

(12 Авг '17 15:26) all_exist
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370

задан
9 Авг '17 14:23

показан
383 раза

обновлен
12 Авг '17 15:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru