В этой теме публикуем головоломки, в которых спрашивается о возможности построения той или иной конструкции (математической или какой-либо ещё).

Начнём от простого к сложному:

№1

Можно ли раскрасить клетки доски в два цвета — чёрный и белый — так, чтобы у каждой белой клетки были ровно три соседние по стороне чёрные клетки, а у каждой чёрной клетки — ровно две соседние по стороне белые ?

Имелась в виду доска $%n\times n$% при некотором натуральном $%n$%. Но можно и на бесконечной попробовать.

задан 9 Авг '17 15:15

изменен 9 Авг '17 15:36

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для конечной доски вроде нельзя...

Заполняем из угла... в углу на $%a_{11}$% точно чёрная, так как всего два соседа по стороне,а рядом $%a_{21}$%, $%a_{12}$%) - белые... чтобы у них было три чёрных соседа места $%a_{31}$%, $%a_{22}$% и $%a_{13}$% - чёрные... при этом $%a_{22}$% уже имеет два белых соседа, следовательно, $%a_{32}$% и $%a_{23}$% снова чёрные... дальше добавляем слой белых - $%a_{41}$%, $%a_{42}$%, $%a_{43}$%, $%a_{24}$%, и $%a_{14}$%... И вот получаем противоречие для полей $%a_{41}$% и $%a_{14}$% ...

$$ \begin{vmatrix} b &|& w &|& B &|& W &|& ? \\ --- &|& --- &|& --- &|& --- &|& --- \\ w &|& B &|& B &|& W &|& \cdot \\ --- &|& --- &|& --- &|& --- &|& --- \\ B &|& B &|& W &|& \cdot &|& \cdot \\ --- &|& --- &|& --- &|& --- &|& --- \\ W &|& W &|& \cdot &|& \cdot &|&\cdot \\ --- &|& --- &|& --- &|& --- &|& --- \\ ? &|& \cdot &|&\cdot &|&\cdot &|& \cdot \end{vmatrix} $$

ссылка

отвечен 9 Авг '17 18:27

изменен 9 Авг '17 18:49

@all_exist, большое спасибо!

(10 Авг '17 16:06) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для бесконечной доски — переформулируем задачу.

Рядом с каждым чёрным полем — два чёрных. Рядом с каждым белым — одно белое. Белые поля ходят парами, а чёрные поля — либо неограниченными непересекающимися цепочками, либо циклами. Не бывает белых цепочек длиной больше двух полей.

Возьмём чёрный поворот цепочки либо цикла. Снаружи, по сторонам, естественно, белые поля. В углу, извне поворота, — непременно чёрное. Чёрное поле само составляет часть цепочки, совершающей поворот. И снаружи её — тоже белые поля, сами образующие цепочку длиной как минимум в три поля. Останов, начинаем с начала.

Итак, либо ни одна чёрная цепочка не поворачивает, либо чёрных полей нет вообще. Но тогда есть белые цепочки неограниченной длины — они по обеим сторонам от чёрных. Тоже не работает. Исчерпали варианты.

Нет доски, удовлетворяющей требованиям.

======================

Интересно, что если у каждого чёрного поля три соседа, а у каждого белого — два (маленькое такое изменение), то пример на бесконечной доске строится легко: две чёрные полосы, одна белая, две чёрные, одна белая… А на конечной доске пример не существует: угловое поле — обязательно белое, оно является вершиной белого цикла, и чёрное поле рядом с другой вершиной белого цикла, прилегающей к стороне доски, не имеет нужного количества чёрных соседей.

По-моему, вы предложили отличный пример на тему как пользы, так и мыслимости бесконечностей. Бесконечный натуральный ряд представить себе как-то сложнее (с непривычки): всё кажется, что должен кто-то его «пересчитывать». :) Главное — сам подход: имея в виду бесконечность предмета, рассуждать всё же о локальных его частях, которые сами вполне себе мыслимы.

ссылка

отвечен 10 Авг '17 2:42

изменен 12 Авг '17 13:03

@abracadabra-..., большое спасибо!

(10 Авг '17 16:07) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×128

задан
9 Авг '17 15:15

показан
441 раз

обновлен
12 Авг '17 13:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru