Нужно доказать, что поточечная сходимость в $%C[0,1]$% неметризуема. В книге Хелемского дано даже указание: Если поточечная сходимость влечёт сходимость по некоторой метрике $%d$%, то можно показать, что для любой точки $%t \in [0,1]$% и любого $%\varepsilon > 0$% выполнено неравенство $%d(y,0) < \varepsilon$%, как только функция $%y \in C[0,1]$% равна нулю вне достаточно малого отрезка $%[t, t + h]$%.

Собственно вопрос, а как это доказать?

задан 14 Авг '17 13:18

См. здесь обсуждение некоторых тонкостей доказательства данного утверждения.

(14 Авг '17 15:21) falcao

@falcao, спасибо, но доказательство довольно "мутное". Мне кажется, что с приведенным выше утверждением доказательство будет в 2 строчки (последовательность вложенных отрезков). Но как строго доказать это утверждение?

(14 Авг '17 16:11) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я думаю, тут можно рассуждать от противного. Предположим, что для некоторого положительного $%\varepsilon_0$% утверждение неверно, то есть к данному $%t$% не подходит никакое сколь угодно малое положительное $%h$%. Тогда можно взять любую последовательность $%h_n\to0$%, и рассмотреть непрерывную функцию $%f_n$%, тождественно равную нулю вне $%(t,t+h_n)$%, для которой расстояние от неё до нуля не меньше $%\varepsilon_0$%.

Ясно, что последовательность $%f_n$% поточечно стремится к нулю, и если бы топология была метризуема, то имела место бы и сходимость к нулю по метрике, что не выполняется по построению.

Когда вспомогательное утверждение доказано, можно брать "игольчатые" функции для разных значений $%t$% с "пиком", равным 1, расстояния от которых до нуля стремятся к нулю. Но такая последовательность функций, с увеличивающимися значениями $%t$%, поточечно к нулю стремиться не будет.

ссылка

отвечен 16 Авг '17 12:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×639

задан
14 Авг '17 13:18

показан
304 раза

обновлен
16 Авг '17 12:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru