Клетчатый лист бумаги размером 10×10 клеток покрыт полностью 55 квадратиками, каждый из которых состоит из 4 клеток. Докажите, что один из них можно убрать так, что оставшиеся будут по прежнему покрывать весь лист.

задан 14 Авг '17 18:54

Подразумевается ли, что стороны квадратиков параллельны сторонам листа?

(14 Авг '17 22:52) falcao

@falcao: не усложняйте чрезмерно. Для параллельных бы решить... Задача средней сложности для 8-ого, 9-ого классов. См. также Квадратики_2.

(14 Авг '17 23:11) kipot_l
2

@kipot_l: я всё-таки сторонник точных трактовок условий. Могут ли квадратики выходить за пределы листа? Обязательно ли они идут строго по клеткам, или могут смещаться? Допускаю, что решение тут вполне простое, но я не начинаю думать, пока условие не становится стопроцентно однозначным.

(15 Авг '17 0:06) falcao

@falcao, согласен. Тогда считаем всё, как для "Игры в пятнадцать", всё параллельно, в пределах "коробочки" и по клеточкам. А вот можно ли уменьшить число 55...? Но это уже совсем другая задача...

(15 Авг '17 0:20) kipot_l
10|600 символов нужно символов осталось
0

Решение. Разобьём весь "крольчатник" на клетки размером 2×5, с учётом возможного перекрытия наполовину таких клеток будет не 10-ть, а 18 = 9×2. Нетрудно видеть, что в такую клетку больше трёх кроликов размером 2×2 с выполнением условия задачи не посадишь.

Итого получим 54 = 3×18 = 54 кролика. Для 55 кролика места нет. Это верхняя оценка количества кроликов, остаётся открытым вопрос, можно ли улучшить эту оценку (до 36 кроликов, например). Тривиальная нижняя оценка – 25 кроликов.

ссылка

отвечен 16 Авг '17 0:23

1

@kipot_l: вероятнее всего, именно такое рассуждение и предполагалось -- коль скоро получается число 55. Но я не понял, какое именно разбиение Вы рассматриваете, коль скоро допускаются перекрытия.

Я пробовал рассуждать как-то по-другому. Для каждого из 55 квадратов рассмотрим клетку, которую покрывает только он. Из 55 таких клеток найдутся 6 в одной строке (тогда 55 можно заменить и на 51). Если не ошибаюсь, в одной строке тогда будет слишком мало места для такого расположения. Это рассуждение достаточно "беглое", и его было бы полезно проверить на предмет состоятельности.

(16 Авг '17 12:15) falcao

@falcao, разбиение естественное, пусть по вертикали, столбики 1-2, 2-3, 3-4, ... 9-10, в каждой паре столбиков по две клетки 2*5. Без перекрытий рассуждение не проходит... Сильное подозрение, что количество "кроликов" можно уменьшить до 36 аналогичными рассуждениями. И, более того, это уже точная граница.

(17 Авг '17 19:14) kipot_l
2

всего 9 вертикалей в которых стоят 55 квадратиков, поэтому есть вертикаль ( 2 соседних колонки) на которой стоят не менее 7 квадратиков, среди которых есть квадратик, который можно убрать.

(17 Авг '17 23:27) Sergic Primazon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×35

задан
14 Авг '17 18:54

показан
373 раза

обновлен
17 Авг '17 23:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru