Я знаю, что центральная симметрия это движение, а при нем луч отображается на луч. Но как правильно доказать, что на противоположно направленный?

задан 15 Авг '17 11:45

изменен 15 Авг '17 11:46

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нужно использовать определение сонаправленных (соответственно, противоположно направленных) лучей. Напомним, как оно выглядит. Лучи должны быть расположены на параллельных прямых. Если они расположены на одной и той же прямой, то у сонаправленных лучей пересечением должен быть луч, а у противоположно направленных -- что-то другое (отрезок, точка, или пустое множество).

Предположим, что лучи расположены на разных прямых. Проведём прямую через начала лучей. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Сонаправленные лучи будут лежать в одной полуплоскости, а противоположно направленные -- в разных полуплоскостях.

Пусть O -- центр симметрии. Рассмотрим луч с началом A, и пусть он переходит в луч с началом B. Для начала рассмотрим случай общего положения, когда лучи лежат на разных параллельных прямых. Проверим, что лучи окажутся в разных полуплоскостях. Точка O есть середина отрезка AB. Возьмём на первом луче точку A', отличную от A. Пусть она перешла в B'. Тогда, по определению центральной симметрии, O есть середина отрезка A'B'. Это значит, что отрезок A'B' пересекает прямую AB, разделяющую полуплоскости. Тем самым, точки A' и B' лежат в разных полуплоскостях, и потому лучи не сонаправлены. Значит, они противоположно направленные.

"Вырожденный" случай, когда лучи лежат на одной прямой, достаточно лёгкий, и он "наглядно-очевиден". Предлагаю его осмыслить самостоятельно.

ссылка

отвечен 15 Авг '17 12:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,706

задан
15 Авг '17 11:45

показан
278 раз

обновлен
15 Авг '17 12:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru