найти особые точки и в них вычеты. $%g(x)=\frac{z}{1- \cos(z)}$%

Решение: особые точки:$% z=2\pi\cdot k $%, где $% k$%- целые числа.

А вычеты не понимаю, ведь их бесконечно много?

задан 17 Авг '17 22:19

В каждой точке z=2пk находите вычет по отдельности. Ответ может зависеть от k. Можно сделать замену, находя далее вычет в нуле при каждом k (z заменяете на z+2пk).

(17 Авг '17 23:43) falcao

@falcao, спасибо,а кем являются функции $%\varphi$% и $%\psi$%?

вот, что у меня получилось пока что: $%res_{2\pi k}g(z)=\frac{\varphi(2\pi k)}{\psi '(2\pi k)}= ??$% я же ведь взял формулу для моей точки(простого полюса)? или нужно по формуле, где вычет равняется коэффициенту $%С_{-1}$% в ряде Лорана для $%\cos(z)$%?

(18 Авг '17 1:51) Романенко

еще вбил в вольфраме: он вывел мне вычет равный $%2$%. здесь

(18 Авг '17 1:53) Романенко

а кажись понял: получается $% lim (2\pi\cdot k ) / sin(2\pi\cdot k) = 2 $%-- при любом целом k ?

(18 Авг '17 2:02) Романенко
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно разными способами вычислять. Если нам нужен вычет функции $%g(z)$% в точке $%2\pi k$%, то после замены он превращается в вычет в нуле функции $%g(z+2\pi k)=\frac{z+2\pi k}{1-\cos z}=\frac{z+2\pi k}{2\sin^2(z/2)}\sim\frac{z+2\pi k}{z^2/2}=\frac2z+\frac{4\pi k}{z^2}$%. Коэффициент при $%z^{-1}$% равен $%2$%.

ссылка

отвечен 18 Авг '17 10:51

@falcao, спасибо, а коэффициент $%2$% при $%z^{-1}$% получается, если разложить $%\frac{2}{z}$% в ряд Лорана по степеням $%z-2$% ? Или второе слагаемое тоже нужно?

(18 Авг '17 14:27) Романенко

@Романенко: этот вопрос поставил меня в тупик. Дело в том, что если функцию (какую угодно) раскладывать по степеням z-2, то могут получиться степени z-2 с положительными или отрицательными показателями, включая (z-2)^{-1}, то там нигде в принципе не будет уже z^{-1}, поэтому говорить об этом коэффициенте как-то странно.

(18 Авг '17 17:13) falcao

@falcao, спасибо, т.е. нужно как-то разложить 2/z +4pi*k/z^2 по степеням и потом коэффициент при -1 степени будет 2: я так понял, что не понимаю как выразить этот коэффициент(составить общий член ряда) (((

(21 Авг '17 16:46) Романенко
1

@Романенко: выражение a/z+b/z^2 уже разложено по степеням z. Коэффициент при z^{-1} равен a (он и нужен), коэффициент при z^{-2} равен b, остальные коэффициенты равны нулю.

(21 Авг '17 20:53) falcao

@falcao, спасибо!точно: мне просто в голову почему-то пришла тогда мысль, что нужно по степеням z-2 раскладывать! получается Ваш ответ и есть ряд Лорана.

(22 Авг '17 1:21) Романенко
1

@Романенко: да, конечная сумма есть частный случай ряда Лорана. Остальные коэффициенты -- нулевые. Это как многочлен -- частный случай степенного ряда. Здесь я выписал это выражение для эквивалентной функции (что не влияет на значение вычета).

(22 Авг '17 2:45) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×159

задан
17 Авг '17 22:19

показан
361 раз

обновлен
22 Авг '17 2:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru