Можно ли найти все решения уравнения в целых числах $$x^{2}+y^{2}=z^{2}+1$$

задан 19 Авг '17 11:00

$$z^2-x^2=y^2-1$$

(19 Авг '17 11:47) Sergic Primazon
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вообще то да... Разложение некоторого числа на разность квадратов даёт все решения. $%z^2-x^2=y^2-1$%

Но обычно для такого рода задач подразумевается нахождение параметризация решений. Вот тут и возникают сложности. Часто пишут некоторое частное решение для уравнения. Приведу его. Это почти как Пифагорова тройка. $$X^2+Y^2=Z^2+t$$

Решения такие.

$$X=1\pm{b}$$

$$Y=\frac{(b^2-t\pm{2b})}{2}$$

$$Z=\frac{(b^2+2-t\pm{2b})}{2}$$

Теперь для нашего уравнения.

$$X^2+Y^2=Z^2+1$$

Воспользуемся любым решением уравнения Пелля.: $%p^2-2s^2=\pm1$%

И решения запишем:

$$X=2s(p+s)L+p^2+2ps+2s^2$$

$$Y=(p^2+2ps)L+p^2+2ps+2s^2$$

$$Z=(p^2+2ps+2s^2)L+p^2+4ps+2s^2$$

$%L-$% любое число. Забавно, что параметризация линейной получается.

Решения уравнения Пелля. $%p^2-2s^2=\pm1$%

Зная любое решение $%(p_0 ; s_0)$% можно написать следующее по формуле.

$$p_1=3p_0+4s_0$$

$$s_1=2p_0+3s_0$$

Для такого уравнения $%+1$% первое решение такое $%(p_0;s_0) - (3;2)$%

Для такого уравнения $%-1$% первое решение такое $%(p_0 ; s_0) - (1;1)$%

ссылка

отвечен 20 Авг '17 8:51

Individ: Нельзя ли подробнее обьяснить откуда берутся параметрические равенства?

(21 Авг '17 21:50) sliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×909

задан
19 Авг '17 11:00

показан
384 раза

обновлен
21 Авг '17 21:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru