Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по 6 гирь на каждой, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют один и тот же вес.

задан 19 Авг '17 11:10

2

@kipot_l, докажите сперва, что все гири одной чётности (по их массе в граммах), затем, что все дают одинаковые остатки при делении на 4, затем на 8 и т. д.

(19 Авг '17 11:18) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед, свежая мысль, прошу расшифровать!

(19 Авг '17 11:32) kipot_l
2

@kipot_l: то, что все числа одной чётности, понятно. Если они все чётны, делим веса пополам. Если все нечётны, то вычитаем отовсюду по единице (это ничего не меняет), и делим пополам. В итоге всё будет уменьшаться, и придёт к нулям.

(19 Авг '17 11:47) falcao
1

@falcao, спасибо, примерно так...

(19 Авг '17 14:24) kipot_l
2

@kipot_l, у этой задачи имеется и официальное решение на проблем.сру: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=77892

(19 Авг '17 15:29) Аллочка Шакед

@Аллочка Шакед, спасибо. В целом идея понятна, хочется самому доформулировать...

(20 Авг '17 10:53) kipot_l

@Аллочка Шакед, посмотрел решение, люблю старые добрые московские олимпиады. Мной задача взята из книги В.Прасолова "Алгебра" (№ 17.16), там имеется то же самое довольно коряво изложенное решение. есть оно и в другой книге В.Прасолова. Предлагаю свою редакцию, правда тоже не блестящую. Прошу оценить и улучшить.

(20 Авг '17 19:59) kipot_l

@falcao, если не трудно, прошу просмотреть и оценить написанное мною решение, с учетом ссылок на опубликованные решения В.Прасоловым.

(20 Авг '17 20:15) kipot_l

@kipot_l: суть того и другого решения представляется мне одинаковой.

(20 Авг '17 20:17) falcao

@falcao, я не претендую на мировые открытия в данной задаче. Просто хочется отсутствия лишних шагов и слов, и ещё мне понравилось, что можно ввести разбиение наборов на эквивалентные классы и определить формальные операции. Солидно и поучительно. А В.Прасолов целый абзац жуёт вполне очевидное утверждение про чётность. Но и у меня, похоже, п.2 можно выкинуть целиком. Придётся отредактировать решение. А ноль в кавычках потому, что я плохо знаю и помню всю эту аксиоматику...

(20 Авг '17 22:39) kipot_l

@kipot_l: дело не в открытиях, а в том, что идеи решений здесь одни и те же. В каких-то других случаях могло оказаться и не так. Изложить можно длиннее или короче -- самый краткий путь я вижу в рассмотрении минимального контрпримера, но "механизм" при этом остаётся таким же.

Определение чётного числа такое: это число, которое делится нацело на 2, то есть имеет вид 2k, где k целое. Ясно, что для нуля тут нет никакого исключения.

(20 Авг '17 23:00) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
0

Решение. Назовём набор из 13-ти гирек (натуральных чисел) допустимым, если для него выполняется условие задачи. Покажем, что в допустимом наборе все гири имеют один и тот же вес. Рассмотрим произвольный допустимый набор. Для допустимого набора возможны следующие операции, сохраняющие свойство набора:

1) деление всех чисел на любую возможную степень 2^k;

2) вычитание (однократное) минимального положительного числа набора из всех 13 чисел;

  1. Считаем очевидным, что чётность всех чисел в любом допустимом наборе одинакова, нечётных чисел в наборе может быть либо ноль, либо 13 (иначе всегда можно составить набор из 12 элементов, содержащий нечётное число нечётных чисел).

  2. Вычтем из каждого числа набора минимальное положительное число, входящее в набор; набор останется допустимым, после вычитания набор будет содержать от 1 до 13 нулей и не более 12 ненулевых (чётных!) чисел. Если все числа равны нулю, то задача решена. Если же это не так, то разделим каждое число набора на максимально возможную степень 2^k. Набор должен остаться допустимым, но при этом будет содержать одно или несколько нечётных чисел, и чётное число ноль.

Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

ссылка

отвечен 20 Авг '17 20:05

изменен 20 Авг '17 23:13

@kipot_l: почему ноль назван "чётным" числом в кавычках?

(20 Авг '17 20:18) falcao

@falcao, в поисках недостижимого совершенства ещё раз переписал "своё" решение. Учёл Ваши замечания и внимательно прочёл то, что написал В.Прасолов. Я предполагаю эту задачу с девятиклассниками разбирать, хочется "сделать красиво".

(20 Авг '17 23:18) kipot_l

@kipot_l: если бы я излагал школьникам, то опирался бы на две операции -- деление пополам и вычитание единицы. У меня в комментарии объяснение занимает три строчки (это если говорить о краткости). По-моему, там всё вполне понятно. Добавлю, что я эту задачу сам не решал, а просто воспринял то, что сообщила @Аллочка Шакед.

(21 Авг '17 2:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×10
×5

задан
19 Авг '17 11:10

показан
639 раз

обновлен
21 Авг '17 2:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru