$$\sqrt[3]{1-i}$$

задан 7 Фев '13 23:10

изменен 8 Фев '13 18:57

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Требуется найти все решения уравнения $%z^3=1-i$%. Сначала представим число $%z=1-i$% в тригонометрической форме: $%1-i=\sqrt{2}(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)$%. Решения будем также искать в тригонометрической форме, то есть $%z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$%. Возводя в куб с использованием формулы Муавра, имеем $%z^3=r^3(\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi)$%.

Теперь мы имеем две т.ф., значения которых равны, откуда приравниваем модули, а также аргументы с точностью до $%2\pi k$%, где $%k$% целое. Это даёт $%r^3=\sqrt{2}$% и $%3\varphi=-\pi/2+2\pi k$%, то есть $%r=\sqrt[6]{2}$%, $%\varphi=-\pi/12+2\pi k/3$%. Таким образом, $$z_k=\sqrt[6]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}3\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}3\right)\right),$$ где $%k=0,1,2$% принимает три значения.

Далее проще всего изобразить все три точки на комплексной плоскости. Все они лежат на окружности радиусом $%\sqrt[6]{2}$%, а аргумент принимает значения $%-\pi/12$%, $%7\pi/12$% и $%-3\pi/4$%. При этом $%z_2=-2^{1/3}(1+i)$%, а остальные два значения можно явно найти через синусы и косинусы "половинных" углов.

ссылка

отвечен 7 Фев '13 23:48

Великолепно))) А почему сразу не воспользоваться формулой $%\sqrt[N]Z=\sqrt[N]{|Z|}e^{i\cdot\frac{\arg(Z)+2\pi k}N}, k=1..N$%?

(8 Фев '13 2:00) chameleon

Если человек задаёт вопрос, то это означает, что он, скорее всего, не знает ни формулы, ни её вывода. А здесь показано, как и на основании каких соображений её получить.

Пользоваться готовыми формулами хорошо, если задача решается в N-й раз, а если это происходит впервые или почти впервые, то полезнее отработать вывод.

(8 Фев '13 2:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×484

задан
7 Фев '13 23:10

показан
6918 раз

обновлен
8 Фев '13 18:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru