комплексные-числа - Найти все значения корня $%\sqrt[3]{1-i}$%

Требуется найти все решения уравнения $%z^3=1-i$%. Сначала представим число $%z=1-i$% в тригонометрической форме: $%1-i=\sqrt{2}(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)$%. Решения будем также искать в тригонометрической форме, то есть $%z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$%. Возводя в куб с использованием формулы Муавра, имеем $%z^3=r^3(\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi)$%.

Теперь мы имеем две т.ф., значения которых равны, откуда приравниваем модули, а также аргументы с точностью до $%2\pi k$%, где $%k$% целое. Это даёт $%r^3=\sqrt{2}$% и $%3\varphi=-\pi/2+2\pi k$%, то есть $%r=\sqrt[6]{2}$%, $%\varphi=-\pi/12+2\pi k/3$%. Таким образом, $$z_k=\sqrt[6]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}3\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}3\right)\right),$$ где $%k=0,1,2$% принимает три значения.

Далее проще всего изобразить все три точки на комплексной плоскости. Все они лежат на окружности радиусом $%\sqrt[6]{2}$%, а аргумент принимает значения $%-\pi/12$%, $%7\pi/12$% и $%-3\pi/4$%. При этом $%z_2=-2^{1/3}(1+i)$%, а остальные два значения можно явно найти через синусы и косинусы "половинных" углов.