Доказать, что $%5n^2+6n-1$% не делится на 49 ни при каком целом значении аргумента.

задан 22 Авг '17 1:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

После домножения на 10 и приведения по модулю 49 приходим к равносильной задаче о том, что $%n^2+11n-10$% не делится на 49. Если делится, то тогда оно делится на 7, и после приведения по модулю 7 оказывается, что $%n^2+4n-3=(n+2)^2-7$% делится на 7. Значит, $%n+2$% тоже делится.

Раскладываем по степеням $%n+2$% многочлен $%n^2+11n-10=(n+2)^2+7(n+2)-28$%. Видно, что первые два слагаемых делятся на 49, а третье не делится.

Задачи похожего типа где-то на форуме уже бывали.

ссылка

отвечен 22 Авг '17 1:47

@falcao, большое спасибо!

(22 Авг '17 11:43) Аллочка Шакед
1

@falcao: Этот тип задач о неделимости многочлена степени 2 на квадрат простого числа по сути сводится к критерию Эйзенштейна.

(22 Авг '17 11:55) EdwardTurJ

@falcao, @Аллочка Шакед, видел я подобную задачу, но попроще... Запомнил и восхитился её решением. Пытаюсь на основе запомненного укоротить Ваше решение: умножение на 10 позволяет "перейти к предыдущей задаче", это важно! Далее:

n^2 + 11n - 10 = (n + 9)(n + 2) - 28

Если n = 7k - 2, то остаток от деления на 49 всего этого выражения равен 28.

Если n не равно 7k - 2, то всё это выражение не делится даже на 7.

Спасибо Аллочке и Вам за задачу и решение!

(24 Авг '17 0:28) kipot_l
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×211
×150
×128

задан
22 Авг '17 1:28

показан
378 раз

обновлен
24 Авг '17 0:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru