Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна a, сумма трёх следующих равна b. Может ли произведение ab равняться 111 111 111 ?

задан 23 Авг '17 20:02

Если a=n+(n+1)+(n+2)=3(n+1), b=(n+3)+(n+4)+(n+5)=3(n+4), то (n+1)(n+4)=111111111/9=12345679. Правая часть есть произведение 37 на 333667, где последнее число является простым. Такое представление невозможно. Допускаю, что возможно другое решение, не опирающееся на простоту указанного числа.

(23 Авг '17 21:22) falcao
2

@falcao, я пытаюсь рассуждать проще. 111 111 111 - нечётное число. если n = 2k, то a = 3n + 3 = 6k + 3 - нечётное число, b = 6k +12 - чётное число. Поэтому равенство ab = 111 111 111 невозможно. Для n = 2k +1 рассуждения аналогичные. Но это я отнюдь не сразу придумал... Задачи - с "завлекалочками" для неправильных рассуждений.

(23 Авг '17 21:39) kipot_l
1

@kipot_l: да, разумеется, так намного проще. Числа n+1 и n+4 имеют разную чётность, то есть их произведение чётно. Я прошёл мимо такого простого аргумента.

(23 Авг '17 21:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

В лоб, без карандаша. Если времени много, и хочется побаловаться над несложной задачкой. $%b = a+9$%; $%a^2+9a = 111111111$%; $%9c^2+27c = 111111111$%. Надо поделить равенство на девять.

Вспоминаем, на чём основан алгоритм деления — на представлении числа в виде суммы чисел, каждое из которых делится на делитель нацело. Можно последовательно выделять из текущего остатка числа, состоящие из одних девяток; тогда текущий остаток обладает следующим составом. Сначала — количество единиц, равное количеству цифр в последнем выделенном числе, уменьшенному на один; потом — цифра, доводящая сумму цифр в числе до девяти. Выделив все такие части, мы прибавляем остаток:

$$111111111 = 99999999+9999999+999999+99999+9999+999+99+9+9$$

Отсюда $%c(c+3) = 12345679$%. Последняя цифра произведения, однако, не может быть равна девяти (тупо проверяем каждую пару цифр от $%0 \cdot 3 $% до $%9 \cdot 2$%).

PS: заглянул в комментарии. У @kipot_I — такой же принцип решения. Оставлю ради деления. :)

ссылка

отвечен 23 Авг '17 23:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×207
×128

задан
23 Авг '17 20:02

показан
317 раз

обновлен
23 Авг '17 23:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru