Доказать, что не существует натурального числа, произведение десятичных цифр которого оканчивается на 11.

задан 23 Авг '17 23:40

изменен 25 Авг '17 9:49

Expert's gravatar image


14718

10|600 символов нужно символов осталось
2

Перемножаться должны только нечётные цифры, причём 5 не участвует. Цифру 1 можно не брать, а 9 есть степень 3. Поэтому остаются только 3 и 7. Фактически, надо доказать, что произведение степеней 3 и 7 не равно 11 по модулю 100.

Рассматривая последовательность степеней тройки по модулю 100, видим, что она имеет период 20. Её легко выписать в явном виде: 1, 3, 9, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 7, 21, 63, 89, 67, ... (и далее всё повторяется). Видим, что 7 тут присутствует, поэтому можно говорить только о степенях тройки. Тогда осталось заметить, что у нас тут выписаны все значения степеней тройки по модулю 100, а числа 11 здесь нет.

ссылка

отвечен 24 Авг '17 0:08

@falcao, вот эта Ваша фраза мне непонятна: "Видим, что 7 тут присутствует, поэтому можно говорить только о степенях тройки."

(24 Авг '17 0:12) Аллочка Шакед
2

@Аллочка Шакед: появление числа 7 здесь означает, что 7 равно 3^{15} по модулю 100. Нас интересовали числа вида 3^{k}7^{m} mod 100. Из сказанного ясно, что они являются степенями тройки. А последние у нас все выписаны, и 11 среди них не встречается.

Для сравнения: одни степени 7 брать было бы нельзя, потому что у них короткий период, и 3 не будет степенью 7.

(24 Авг '17 0:28) falcao
2

@Аллочка Шакед Для каждого числа в ряде остатков: умножение на это число так же действует на остаток, как многократное деление на 3. Потому что у этого числа такой же остаток при делении на 100, как у соответствующей степени тройки. Итак, умножение на 7 так же действует на остаток, как многократное умножение на 3.

(24 Авг '17 0:29) abracadabra-...

@falcao, большое спасибо!

(24 Авг '17 10:54) Аллочка Шакед

@abracadabra-... , и Вам тоже!

(24 Авг '17 10:54) Аллочка Шакед
2

@falcao, @abracadabra-... , Можно ещё так: 3*7 даёт остаток 1 при делении как на 4, так и на 5. Поэтому если в паре тройка и семёрка, они "взаимоуничтожают друг друга". Теперь смотрим - с одной стороны, разность между количеством троек и количеством семёрок должна быть нечётна, чтобы давать остаток 3 при делении на 4, а с другой должна быть чётна, чтобы давать остаток 1 при делении на 5 - ПРОТИВОРЕЧИЕ

(24 Авг '17 11:06) Аллочка Шакед
3

@Аллочка Шакед: да, это хорошая идея -- рассматривать всё по модулю 20 вместо mod 100. И тогда всё получается очень легко, без длинных списков: значения степеней 3 и 7 имеют период 4 и принимают значения 1, 3, 7, 9. Эти числа образуют группу, за пределы которой значения не выходят, то есть 11 никак не возникнет.

(24 Авг '17 13:36) falcao

@Аллочка Шакед, @falcao, спасибо за симпатичную и нетрудную задачку. Я её почти решил самостоятельно, рассматривая степени 3, 7 и 21 ... по модулю именно 20, а не 10 (!).

Осталось ответить на вопрос, на какие две цифры может оканчиваться произведение цифр натурального числа?

(27 Авг '17 14:19) kipot_l
2

@kipot_l: степени тройки mod 100 уже выписаны. Они охватывают случай произведений цифр 1, 3, 7, 9. Для домножений на 2 и на 5 всё также легко анализируется, то есть можно дать полный список. Эти числа образуют полугруппу относительно умножения по модулю 100.

(27 Авг '17 14:32) falcao
1

Довольно «невнятное» (поэтически :)) слово «полугруппа» означает, как я понимаю, следующее практическое наблюдение: что этот список остатков нельзя однозначно расширять «назад», тогда как расширение «назад» для остатков степеней тройки однозначно (факт, который меня удивил). Возможно, если бы математическую литературу переводили поэты, они бы обозвали это собрание чисел «недогруппой». :)

Вообще, мне нравится комментарий от 24.08 13:36: слову «группа» в нём можно, собственно, не придавать никакого специального смысла, всё понятно и так. :) Cлово — и уместно, и ценно (числа «сгруппировались»).

(27 Авг '17 17:09) abracadabra-...
2

@abracadabra-...: исторически слово "группа" (у Галуа) именно так и возникла. Надо было как-то назвать некое новое явление: у нас имеется список подстановок (перестановок), и если мы рассмотрим какую-то их композицию, то получим снова подстановку из списка. На современном языке, это называется "множество с (бинарной) операцией". Если она ассоциативна (для чисел, остатков, матриц, подстановок etc это автоматически так), то говорят, что перед нами полугруппа. Если выполняются два дополнительных свойства, говорят о группе.

(27 Авг '17 18:06) falcao
2

(продолжение) Легко проверить, что остатки от деления на 100 из условия задачи образуют полугруппу. Она не является группой, так как при умножении на 2 невозможен "откат назад". А для обратимых элементов (порождаемых остатками 1, 3, 7, 9) всегда получается группа, что является общим фактом. Если 100 заменить на другое число N, то получатся остатки, взаимно простые с N.

(27 Авг '17 18:09) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114

задан
23 Авг '17 23:40

показан
429 раз

обновлен
27 Авг '17 18:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru