Где $%A$% - угол против стороны $%a$%, $%m_a$% - медиана к стороне $%a$% треугольника $%ABC$%. Требуется найти стороны $%b$% и $%c$%.

Длины сторон я посчитал, выразив $%b^2+c^2$% и $%b^2c^2$% из теоремы косинусов и формулы для медианы, и найдя их как корни кв. уравнения. Сложнее с тем, чтобы выяснить при каких значениях $%a$%, $%A$%, $%m_a$% решения существуют.

Ответ из учебника:

Если $%0 < A < \pi/2$%, то решения существуют, если $%a/2 < m_a < \frac12a\cot(A/2)$%. Если $%A=\pi/2$%, то обязательно должно быть $%m_a=a/2$% и решений бесконечно много. Если $%A > \pi/2$%, то решения есть при $%\frac12\cot(A/2)\le m_a <\frac12a$%.

P.S. Случай $% A=\pi/2 $% ясен. Так же, чисто визуально нетрудно представить, что при $% 0\lt A\lt \pi/2 $% должно быть, что $% m_a \gt a/2 $% (а при $% A \gt \pi/2 $% - наоборот). Но как это доказать и получить остальные ограничения?

задан 24 Авг '17 18:51

изменен 24 Авг '17 19:31

falcao's gravatar image


253k23650

Странно, в превью все формулы отображались как следует. Пока не понял в чем тут проблема в середине текста.

(24 Авг '17 18:59) MathAsk
1

@MathAsk: я подправил текст. В данном случае местный редактор плохо отреагировал на "звёздочки". Если их больше одной, он воспринимает это как выделение текста особым шрифтом. Поэтому в качестве знака умножения лучше использовать команду \ast или \cdot или вовсе ничего.

(24 Авг '17 19:33) falcao
3

Начнём со стороны $%a$%. ГМТ вершин $%A$% - это "чебурашкины уши" - две дуги окружности, из которых сторона $%а$% видна под углом, равным $%A$%. С другой стороны, вершина $%A$% должна быть удалена от середины стороны $%a$% на длину медианы, то есть лежать на окружности с центром в середине стороны и радиусом, равным медиане. Все условия, которые должны быть выполнены, сводятся к тому, что эта окружность должна пересекать дугу. Условие пересечения легко считается.

(24 Авг '17 19:37) knop

@falcao спасибо, учту!

(24 Авг '17 21:50) MathAsk

@knop спасибо, помогаете развивать геометрическое мышление)

(24 Авг '17 21:52) MathAsk
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,920

задан
24 Авг '17 18:51

показан
314 раз

обновлен
24 Авг '17 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru