Найти семизначное число, составленное из 7 различных цифр, которое делится на каждую из этих цифр.

задан 25 Авг '17 19:30

10|600 символов нужно символов осталось
3

Определим сначала, какие именно 7 цифр следует брать. Ясно, что цифра 0 отсутствует. Поскольку среди 7 цифр есть чётные, то число чётно. Если бы оно делилось на 5, оно оканчивалось бы на 0. Значит, 5 отсутствует. Теперь понятно, что наше число делится по крайней мере на 3. Значит, сумма отсутствующих цифр делится на 3 (так как сумма всех цифр обладает этим свойством). Это значит, что третья отсутствующая цифра не есть 9. Получается, что число делится на 9. Тогда отсутствуют 0, 5, 4 -- чтобы сумма делилась на 3. Состав цифр числа в итоге однозначно определён.

Итак, некоторая перестановка цифр 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 должна давать число, делящееся на 7 и на 8 -- это необходимое и достаточное условие. Делимость на 9 обеспечена автоматически, а про остальные цифры всё ясно.

Чисел с этим свойством довольно много -- при помощи компьютерного перебора можно убедиться, что их ровно 105. При решении "ручным" методом достаточно какого-то одного примера. Загадаем какое-то трёхзначное число на конце, делящееся на 8. Пусть это будет 168. Оно заодно делится и на 7. Осталось из цифр 2, 3, 7, 9 образовать число, делящееся на 7. Это несложно: 392 кратно 7, и можно образовать, например, число 3927168.

Добавление. Вот полный список всех решений, найденный на компьютере:

1289736, 1293768, 1369872, 1372896, 1376928, 1382976, 1679328, 1679832, 1687392, 1738296, 1823976, 1863792, 1876392, 1923768, 1936872, 1982736, 2137968, 2138976, 2189376, 2317896, 2789136, 2793168, 2819376, 2831976, 2931768, 2937816, 2978136, 2983176, 3186792, 3187296, 3196872, 3271968, 3297168, 3298176, 3619728, 3678192, 3712968, 3768912, 3796128, 3816792, 3817296, 3867192, 3869712, 3927168, 3928176, 6139728, 6379128, 6387192, 6389712, 6391728, 6719328, 6719832, 6731928, 6893712, 6913872, 6971328, 6971832, 7168392, 7198632, 7231896, 7291368, 7329168, 7361928, 7392168, 7398216, 7613928, 7639128, 7829136, 7836192, 7839216, 7861392, 7863912, 7891632, 7892136, 7916328, 7916832, 7921368, 8123976, 8163792, 8176392, 8219736, 8312976, 8367912, 8617392, 8731296, 8796312, 8912736, 8973216, 9163728, 9176328, 9176832, 9182376, 9231768, 9237816, 9278136, 9283176, 9617328, 9617832, 9678312, 9718632, 9723168, 9781632, 9782136, 9812376, 9867312.

ссылка

отвечен 25 Авг '17 20:27

изменен 26 Авг '17 19:25

@falcao, надо короче, про 0 забыли, 5 нет, а сумма двух убранных цифр делится на 9.

Следовательно, это 5 и 4.

Делимость на 1,3,9 обеспечена всегда. Используя признак делимости на 8, получим, по моим подсчётам, 192 варианта чисел, делящихся на 8. Делимость на 6 при этом будет присутствовать.

А вот с делимостью на 7 как-то скушно...

И хотелось бы указать все решения.

(26 Авг '17 8:31) kipot_l

@falcao, задачка для 8-ого класса! Придётся мне изучить все признаки делимости на 7-мь... В данном случае я ухитрился использовать следующий "частный" признак делимости на 7: Если в числе 7abcdef разность abc - def делится на 7, то и само число тоже делится на 7. "Интуитивно" я начал с варианта 7_ _ _ 632 и получил два решения:

7891632/7 = 1127376

7198632/7 = 1028376

Остался только вопрос, сколько же всего решений...

(26 Авг '17 11:58) kipot_l
1

@kipot_l: у меня сохранился полный список из 105 вариантов, выданный компьютером. Если хотите, могу его приложить к тексту решения. Ясно, что от 8-классников не требовалось описывать все решения, а предъявить какое-то одно нетрудно, так как их много. Стратегия простая: пишем на конце что-то, делящееся на 8, а из оставшихся четырёх цифр набираем заданный остаток от деления на 7. Последнего можно добиться как при помощи признака, так и без.

(26 Авг '17 14:31) falcao

@falcao, был бы Вам благодарен. Состав и распределение решений представляет интерес, и ещё рассуждения при решении задачи. Выбор из чисел, делящихся на 7 и 8, это тоже свежая мысль, доступная восьмикласснику! Таких чисел два - 168 и 392, и получаем четыре решения! Найти все решения, - это вроде как почётная обязанность и "question d'honneur" каждого, кто пытается решать задачу.

(26 Авг '17 17:09) kipot_l

@falcao, задача взята мной из "хорошего" олимпиадного задачника без решений(!), неожиданным моментом для меня оказалось то, что упираешься в перебор 192 чисел, делящихся на 8, который и реализовать на компе непросто. Неожиданным оказалось и то, что решений много, или очень много...

А я в результате от безвыходности почти понял, что такое признак(и) делимости на 7.

(26 Авг '17 17:10) kipot_l

@kipot_l: я добавил список. Как уже говорилось, поскольку решений много, достаточно выбрать из этой массы какой-то один подходящий вариант. Совершенно не обязательно перебирать всё. А задача хорошая, и вполне доступная 8-классникам.

(26 Авг '17 19:28) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко понять, что в этом числе нет ни пяти, ни нуля (число чётное, на нуль ничто не делится). Последний кандидат на роль отсутствующей цифры — либо 4, либо 9 (очевидное рассуждение).

Ответ — $%2793168$%. Получен «методом таблиц»: составив предварительно таблицу остатков от деления на семь для степеней десятки от нулевой до шестой, я знаю, какой эффект на остаток от деления на семь произведёт тот или иной обмен цифр; делимость на 8 устанавливается точно так же за счёт последних трёх цифр.

ссылка

отвечен 25 Авг '17 20:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×207

задан
25 Авг '17 19:30

показан
729 раз

обновлен
26 Авг '17 19:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru