Две случайные точки A и B отмечаются в квадрате со стороной 1. Какова вероятность, что длина отрезка AB будет больше 1/2?

задан 27 Авг '17 14:48

Используйте поиск, такая задача уже была.

(27 Авг '17 15:06) Williams Wol...

@Williams Wol...: задачи похожего содержания точно встречались, а вот насчёт того, что была в точности эта, я не уверен. По крайней мере, через поиск мне не удалось найти такое условие.

(27 Авг '17 15:27) falcao

А, я думал задача про отрезок, не увидел, что в условии квадрат.

(27 Авг '17 15:43) Williams Wol...

@Williams Wol...: для отрезка такое действительно много раз звучало в разных вариантах (типа "задачи о встрече").

(27 Авг '17 17:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Подразумевается, что бросания осуществляются равномерно и независимо.

Пусть $%(x_1,y_1)$%, $%(x_2,y_2)$% -- координаты брошенных точек. Найдём вероятность того, что расстояние между точками будет не больше $%\frac12$%. Этому соответствует неравенство $%(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\le\frac14$%. Можно считать, что случайные величины $%x_1$%, $%x_2$%, $%y_1$%, $%y_2$% независимы и равномерно распределены на отрезке $%[0;1]$%.

Найдём распределение случайной величины $%(x_1-x_2)^2$%. Из общих соображений ясно, что плотность распределения случайной величины $%|x_1-x_2|$% линейна. Она распределена на единичном отрезке, и равна на нём $%f(a)=2(1-a)$%. Если мы знаем плотность распределения с.в. на таком отрезке, то плотность распределения её квадрата даётся формулой $%p(a)=\frac{f(\sqrt{a})}{2\sqrt{a}}$%, что легко вывести из определений. В нашем случае это даёт $%p(a)=\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=a^{-1/2}-1$%. Аналогично, для с.в. $%(y_1-y_2)^2$% имеем плотность распределения $%p(b)=b^{-1/2}-1$% на единичном отрезке.

Теперь можно заключить, что вероятность интересующего нас события равна интегралу от произведения плотностей $%p(a)p(b)$% по множеству $%a+b\le\frac14$%, где $%a,b\ge0$%. Таким образом, получается повторный интеграл $%\int\limits_0^{1/4}da(a^{-1/2}-1)\int\limits_0^{1/4-a}(b^{-1/2}-1)\,db$%. Интеграл по переменной $%b$% равен $%\sqrt{1-4a}+a-\frac14$%, и далее вычисления дают $%\frac{\pi}4-\frac{29}{96}$%. Это вероятность того, что расстояние не больше $%\frac12$%. Тогда ответом будет дополнительная вероятность, равная $%\frac{125}{96}-\frac{\pi}4\approx0,516685$%. То есть, эта вероятность чуть больше половины.

ссылка

отвечен 27 Авг '17 15:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,954

задан
27 Авг '17 14:48

показан
366 раз

обновлен
27 Авг '17 17:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru