$$4^{5^6}+6^{5^4}$$

задан 28 Авг '17 19:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

Очевидно, что данное число делится на степень двойки с достаточно большим показателем. Поэтому достаточно понять, на какую степень числа 5 оно делится. Тогда столькими нулями оно и будет оканчиваться.

Рассмотрим число $%4^{5^2}+6$%. Ясно, что оно делится на 5. По теореме Эйлера, $%4^{20}$% сравнимо с 1 по модулю $%25$%, так как $%\varphi(5^2)=20$%. Следовательно, наше число по модулю $%25$% сравнимо с $%4^5+6=1030$%, и на 25 оно не делится. Рассматриваемое число оканчивается одним нулём.

Рассмотрим следующее число $%4^{5^3}+6^5$%. Найдём его остаток от деления на $%5^3$%. Применяя теорему Эйлера, с учётом $%\varphi(5^3)=120$%, заменяем наше число на $%4^5+6^5=8800$%, и остаток равен $%50$%. Таким образом, данное число делится на $%5^2$%, но не делится на $%5^3$%, и оно оканчивается двумя нулями.

Теперь пусть $%a+b$% делится на $%5^k$%, но не делится на $%5^{k+1}$% при некотором $%k\ge2$%, где $%a$% и $%b$% не делятся на $%5$%. Докажем, что $%a^5+b^5$% делится на $%5^{k+1}$%, но не делится на $%5^{k+2}$%. Применив этот факт несколько раз, мы получим, что $%4^{5^6}+6^{5^4}$% делится на $%5^5$%, но не делится на $%5^6$%, то есть число из условия оканчивается пятью нулями.

Доказательство сформулированного выше факта: $%a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$%, и первый сомножитель делится максимум на $%5^k$%. Что касается второго сомножителя, то $%a+b$% делится на $%5^2$%, откуда $%-b$% можно заменить на $%a$% по модулю $%25$%. Тогда второй сомножитель по этому модулю будет сравним с $%5a^4$%, что делится на 5, но не на 25. Итого получается, что сумма пятых степеней делится на $%5^{k+1}$%, но не больше.

ссылка

отвечен 28 Авг '17 23:16

Спасибо! Мне нужно вникать, так как теорему Эйлера, можно сказать, не знаю. Есть другое решение. Если разложить по биному (5-1)^15625 и (5+1)^625 и сложить, то единицы сократятся, а предпоследнее слагаемое от первого разложения будет равно 5^5,из чего следует ответ.

(29 Авг '17 1:14) make78
1

@make78: теорема Эйлера -- вещь совсем простая и часто используемая. По сути, она проще, чем биномиальная формула. Но я сейчас для себя проверил -- это рассуждение в принципе работает, хотя там надо кое-что строго обосновывать. А именно, то, что все остальные слагаемые будут делиться на 5^6. Это верно, но требует доказательства. Суть в том, что у сочетаний в знаменателе будут появляться числа, кратные 5, и надо проверять, что они компенсируются ростом степеней.

(29 Авг '17 1:46) falcao

@falcao, да, я вас понял. Благодарю за уделенное время!

(29 Авг '17 1:50) make78
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×879
×861

задан
28 Авг '17 19:21

показан
516 раз

обновлен
29 Авг '17 1:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru