При каких целых n число n**2 + 3n + 1 делится на 55?

задан 28 Авг '17 20:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Достаточно понять, при каких $%n$% число делится на 5, а также на 11. Рассмотрим сравнение по модулю 5, где 3 можно заменить на -2. Тогда окажется, что $%(n-1)^2$% делится на 5, то есть $%n$% сравнимо с 1 по модулю 5. Рассматривая то же сравнение по модулю 11, заменяем 3 на -8, получая, что $%(n-4)^2-4=(n-2)(n-6)$% делится на 11. Значит, остаток от деления $%n$% на 11 равен 2 или 6.

Теперь можно решить две системы сравнений, а можно подобрать соответствующие значения, которые по китайской теореме об остатках существуют и единственны. Для второго случая годится остаток 6, а для первого -- выписываем числа 2, 13, 24, 35, 46, дающие остаток 2 при делении на 11, и последнее из них нам подходит в смысле остатка от деления на 5.

Таким образом, $%n$% должно при делении на 55 давать в остатке 6 или 46.

Можно было решить и по-другому. При $%n=6$% число равно 55. Его можно вычесть; свойство делимости на 55 сохранится. Получится $%n^2-6^2+3(n-6)=(n-6)(n+9)$%, откуда следует то же самое. Правда, первый способ решения более "универсален", поэтому я с него и решил начать.

ссылка

отвечен 28 Авг '17 20:22

@falcao, спасибо, я внимательно изучу детали Вашего решения, есть что...

Сам я решал по-домашнему, но смысл, естественно, тот же. Из чисел 1, 6, ...51 выбираем те которые дают при делении на 11 остаток 2 или 6. Это будут числа 6 и 46. Ну и общий период будет 55.

(29 Авг '17 0:43) kipot_l

@falcao, задачу я извлёк из книги Алфутовой Н.Б. "Алгебра и теория чисел...", для Колмогоровского интерната, №_4.220 в далеко не первом издании 2009 года. Ответ там весьма краткий и с ошибкой, только 6 + 55к. Найду адрес для связи, тяффкну... Задача, конешно, простая, но ошибки в фирменном задачнике, это... "это как клоп на белой блузке".

(29 Авг '17 1:27) kipot_l
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×207

задан
28 Авг '17 20:07

показан
1163 раза

обновлен
29 Авг '17 1:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru