Для любого простого p, есть наименьшее x такое, что наименьший делитель 2^x-x^3 равен p? ^ - возведение в степень.

задан 28 Авг '17 20:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если $%p=2$%, то $%x=2$%, если $%p=3$%, то $%x=4$%. Далее анализируем случай простого $%p > 3$%. Достаточно доказать, что существует такое натуральное $%x$%, для которого $%p$% будет наименьшим простым делителем числа $%2^x-x^3$%. Это будет означать, что множество рассматриваемых $%x$% непусто, а тогда среди них найдётся наименьшее.

Потребуем, чтобы $%x$% было нечётным, и при этом делилось на все нечётные простые числа, меньшие $%p$%. Достаточно положить $%x=3\cdot5\cdot\ldots\cdot q\cdot m$%, где $%q$% -- последнее простое, меньшее $%p$%, и $%m$% -- любое нечётное. Ясно, что $%2^x-x^3$% не будет делиться ни на 2, ни также на какое-либо нечётное простое $%r < p$%. Последнее следует из того, что $%x^3$% делится на $%r$%, а $%2^x$% не делится.

Теперь подберём подходящее $%m$%, чтобы $%2^x-x^3$% делилось на $%p$%. Ввиду того, что $%x=3y$% для некоторого $%y$%, достаточно потребовать, чтобы $%2^y$% было сравнимо с $%x$% по модулю $%p$%. Пусть $%a=2^{5\cdot\ldots\cdot q}$%. Тогда $%2^y$% равно $%a^m$%. Потребуем, чтобы $%m$% давало остаток 1 от деления на $%p-1$%. Тогда по малой теореме Ферма, $%a^m$% сравнимо с $%a$% по модулю $%p$%. Линейное сравнение $%3\cdot5\cdot\ldots\cdot q\cdot m\equiv a\pmod p$% имеет решение; потребуем, чтобы при делении на $%p$% число $%m$% давало такой же остаток. По китайской теореме об остатках, существует $%m$%, дающее заданные остатки от деления на $%p-1$% и $%p$%. Оно будет нечётным, его и берём.

ссылка

отвечен 29 Авг '17 4:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
28 Авг '17 20:07

показан
389 раз

обновлен
29 Авг '17 4:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru