$$ \begin{cases}a^2+b^2=2ac+2bd\\b < d\\c< a\\a,b,c,d - натуральные\end{cases} $$

задан 8 Фев '13 17:22

изменен 8 Фев '13 20:41

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $$a=c+e,$$ $$d=b+f.$$ Тогда $%c, d, e$% и $%f$% - произвольные натуральные, удовлетворяющие уравнению $$c^2+d^2=e^2+f^2,$$ или $$(d-e)(d+e)=(f-c)(f+c).$$ Если N - общее значение обеих частей последнего равенства, то число N хотя бы двумя способами разлагается в произведение двух множителей одной чётности (т.к. разность сомножителей в каждой паре - чётное число). Обратно, пусть произвольное число N допускает по крайней мере два таких разложения. Проводя выкладки в обратном порядке, получим произвольные натуральные $%c, d, e$% и $%f$%, по которым вычислим $%a, b, c$% и $%d$%, удовлетворяющие нужным ограничениям. $$$$ Следовательно, все решения получаются указанным способом из чисел, представимых хотя бы двумя способами в виде произведения двух сомножителей одной чётности.

ссылка

отвечен 8 Фев '13 17:57

изменен 8 Фев '13 18:54

А как у Вас получилось уравнение $%b^2+c^2=e^2+f^2$%? Там ведь $%f$% входит только в $%d$%, то есть $%f^2$% могло возникнуть только из $%d^2$%. У меня в результате упрощений получилось другое уравнение: $$e^2=b^2+c^2+2bf.$$

(8 Фев '13 18:19) falcao

@falcao, спасибо, исправил опечатку.

(8 Фев '13 18:56) splen

Да, теперь понятно, что там $%d$% вместо $%b$% должно быть.

Есть ещё одно замечание. В том уравнении, которое Вы написали, общее значение $%N$% может быть равно нулю ($%d=e$%, $%f=c$% приводит к решению), и может быть отрицательным. Это создаёт некоторые дополнительные трудности. Мне кажется, было бы удобнее составить равенство $$(e-c)(e+c)=(d-f)(d+f),$$ где по условию $%d>f$%, и тогда $%N$% положительно. Правда, в этом случае речь идёт не обязательно о разных разложениях на множители одинаковой чётности: совпадение тоже возможно, то есть случай $%d=e>f=c$%.

(8 Фев '13 19:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ \begin{cases}a^2+b^2=2ac+2bd\\b < d\\c< a\\a,b,c,d - натуральные\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(c-a)^2+(d-b)^2=c^2+d^2\\b < d\\c< a\\a,b,c,d - натуральные\end{cases} ... $$

ссылка

отвечен 8 Фев '13 18:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,871
×781

задан
8 Фев '13 17:22

показан
871 раз

обновлен
8 Фев '13 20:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru